❓ Το Μυστήριο των Υπερβατικών Αριθμών

✅ Τι γνωρίζουμε

Γνωρίζουμε ότι το \(\pi\) είναι υπερβατικός αριθμός (Lindemann, 1882), όπως και ο αριθμός του Euler, \(e\) (Hermite, 1873). Γνωρίζουμε επίσης ότι το \(e^\pi\) είναι υπερβατικό — απόδειξη που ήρθε το 1934, χάρη στο θεώρημα Gelfond-Schneider, αξιοποιώντας το γεγονός ότι:

\[ e^\pi = (-1)^{-i} \]

❓ Τι δεν γνωρίζουμε

Και όμως, σήμερα δεν γνωρίζουμε αν τα:

\[ \pi^e, \qquad \pi^\pi, \qquad e^e \]

είναι υπερβατικοί αριθμοί. Ίσως να μη μάθουμε ποτέ. Ο λόγος είναι τεχνικός αλλά σαφής: το θεώρημα Gelfond-Schneider —το εργαλείο που απέδειξε την υπερβατικότητα του \(e^\pi\)— απαιτεί η βάση της δύναμης να είναι αλγεβρικός αριθμός. Στα \(\pi^e\), \(\pi^\pi\) και \(e^e\), όμως, τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης είναι οι ίδιοι υπερβατικοί αριθμοί — μια περίπτωση για την οποία κανένα γνωστό μαθηματικό εργαλείο δεν προσφέρει απάντηση, προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Δεν γνωρίζουμε καν αν το \(\pi^\pi\) είναι έστω άρρητος αριθμός.

🏆 Μια ιστορία με δύο νικητές, μία στα κρεμασμένα

Το 1919, ο David Hilbert έδωσε μια διάλεξη όπου κατέταξε μαζί τρεις εικασίες τις οποίες θεωρούσε εξίσου δύσκολες: την υπόθεση Riemann, το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, και την υπερβατικότητα του \(2^{\sqrt{2}}\). Δύο από τις τρεις έχουν πλέον λυθεί — το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat από τον Andrew Wiles το 1995, και η υπερβατικότητα του \(2^{\sqrt{2}}\) (μαζί με ολόκληρη την κατηγορία στην οποία ανήκει το \(e^\pi\)) από τους Gelfond και Schneider, ήδη το 1934. Η υπόθεση Riemann παραμένει, μέχρι σήμερα, άλυτη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →