🎲 Το Πρόβλημα Νεύτωνα–Πέπις - Ποια Ρίψη Ζαριών Είναι Πιθανότερη;

📜 Η ιστορία του προβλήματος

Το 1693, ο Samuel Pepys έγραψε στον Isaac Newton ζητώντας τη βοήθειά του σε ένα παράξενο πρόβλημα πιθανοτήτων.

Το ερώτημα ήταν:

Ποιο είναι πιθανότερο;

1. Να φέρουμε τουλάχιστον ένα εξάρι όταν ρίχνουμε 6 ζάρια.
2. Να φέρουμε τουλάχιστον δύο εξάρια όταν ρίχνουμε 12 ζάρια.
3. Να φέρουμε τουλάχιστον τρία εξάρια όταν ρίχνουμε 18 ζάρια.

Με την πρώτη ματιά, η τρίτη επιλογή φαίνεται πιο ευνοϊκή. Ρίχνουμε τριπλάσια ζάρια και ζητάμε τριπλάσια εξάρια. Όμως ο Νεύτωνας υπολόγισε ότι η πρώτη επιλογή είναι η καλύτερη.

🧮 Οι πιθανότητες

Κάθε ζάρι έχει πιθανότητα \( \frac{1}{6} \) να δείξει εξάρι και \( \frac{5}{6} \) να μη δείξει εξάρι.

Επιλογή Α (6 ζάρια, ≥ 1 εξάρι):

\( P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6 = 1 - \frac{15625}{46656} = \frac{31031}{46656} \approx 0.665 \)

Επιλογή Β (12 ζάρια, ≥ 2 εξάρια):

\( P = 1 - \left[\left(\frac{5}{6}\right)^{12} + \binom{12}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^{11}\right] \approx 0.619 \)

Επιλογή Γ (18 ζάρια, ≥ 3 εξάρια):

\( P = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{18}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{18-k} \approx 0.597 \)

Άρα: 66,5% > 61,9% > 59,7%

💡 Γιατί η διαίσθηση μας ξεγελά;

Η μέση τιμή των εξαριών είναι ίδια και στις τρεις επιλογές:

• 6 × 1/6 = 1
• 12 × 1/6 = 2
• 18 × 1/6 = 3

Όμως άλλο πράγμα είναι η αναμενόμενη τιμή και άλλο η πιθανότητα να φτάσουμε τουλάχιστον σε ένα όριο. Στην πρώτη περίπτωση αρκεί ένα μόνο εξάρι· στις άλλες χρειάζονται περισσότερα.

Το πρόβλημα λύνεται με τη διωνυμική κατανομή:

\( P(X = k) = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} \)

Ο Νεύτωνας είχε δίκιο: η πρώτη επιλογή είναι η πιθανότερη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →