📐 Μια Συλλογή Γεωμετρικών Προβλημάτων

📐 Πρόβλημα 1

Έστω \(ABCD\) ένα παραλληλόγραμμο. Έστω \(K\) ένα σημείο τέτοιο ώστε \(AK = BD\) και \(M\) το μέσο του \(CK\). Να αποδείξετε ότι \( \angle BMD = 90^\circ \).

📐 Πρόβλημα 2

Έστω \(K\) ένα σημείο στην υποτείνουσα \(AB\) ενός ορθογωνίου τριγώνου \(ABC\) και \(L\) ένα σημείο στην πλευρά \(AC\), έτσι ώστε \(AK = AC\) και \(BK = LC\). Έστω \(M\) το σημείο τομής των τμημάτων \(BL\) και \(CK\). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(CLM\) είναι ισοσκελές.

📐 Πρόβλημα 3

Έστω \(O\) το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \(ABC\). Έστω \(AH\) το ύψος του τριγώνου και έστω \(P\) το ίχνος της καθέτου που φέρουμε από το σημείο \(A\) στην ευθεία \(CO\). Αποδείξτε ότι η ευθεία \(HP\) διέρχεται από το μέσο της πλευράς \(AB\).

📐 Πρόβλημα 4

Έστω ότι ο κύκλος που διέρχεται από την κορυφή \(B\) και το μέσο της υποτείνουσας \(AC\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ABC\) τέμνει τις δύο άλλες πλευρές στα σημεία \(M\) και \(N\). Αν \(AC = 2MN\), να αποδείξετε ότι τα σημεία \(M\) και \(N\) είναι τα μέσα των πλευρών.

📐 Πρόβλημα 5

Η γωνία \(A\) του παραλληλογράμμου \(ABCD\) είναι οξεία. Ένα σημείο \(N\) επιλέγεται στην πλευρά \(AB\) έτσι ώστε \(CN = AB\). Εάν ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \(CBN\) εφάπτεται στην ευθεία \(AD\), να αποδείξετε ότι το \(D\) είναι το σημείο επαφής.

📐 Πρόβλημα 6

Έστω \(ABCDE\) ένα κυρτό πεντάγωνο τέτοιο ώστε \(AE \parallel CD\) και \(AB = BC\). Έστω \(K\) η τομή των διχοτόμων των γωνιών \(A\) και \(C\). Να αποδείξετε ότι \(BK \parallel AE\).

📐 Πρόβλημα 7

Έστω \(ABCD\) ένα εγγεγραμμένο τραπέζιο. Η βάση \(AB\) είναι \(3\) φορές μεγαλύτερη από την \(CD\). Οι εφαπτομένες στον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία \(A\) και \(C\) τέμνονται στο σημείο \(K\). Να αποδείξετε ότι η γωνία \(KDA\) είναι ορθή.

📐 Πρόβλημα 8

Έστω \(ABCD\) ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο. Έστω οι κύκλοι με διαμέτρους \(AB\) και \(CD\) τέμνονται σε δύο σημεία \(X_1\) και \(Y_1\). Οι κύκλοι με διαμέτρους \(BC\) και \(AD\) τέμνονται στα σημεία \(X_2\) και \(Y_2\). Οι κύκλοι με διαμέτρους \(AC\) και \(BD\) τέμνονται στα σημεία \(X_3\) και \(Y_3\). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \(X_1Y_1\), \(X_2Y_2\) και \(X_3Y_3\) είναι παράλληλες.

📐 Πρόβλημα 9

Έστω \(AX\) και \(BZ\) δύο ύψη του τριγώνου \(ABC\). Έστω \(AY\) και \(BT\) διχοτόμοι των γωνιών του. Δίνεται ότι οι γωνίες \(XAY\) και \(ZBT\) είναι ίσες. Αυτό σημαίνει απαραίτητα ότι το \(ABC\) είναι ισοσκελές;

📐 Πρόβλημα 10

Υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο \(ABC\). Έστω \(E, F\) και \(K\) σημεία τέτοια ώστε το \(E\) να βρίσκεται στην πλευρά \(AB\), το \(F\) να βρίσκεται στην πλευρά \(AC\), το \(K\) να βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς \(AB\) και \(AE = CF = BK\). Έστω \(P\) το μέσο του τμήματος \(EF\). Να αποδείξετε ότι η γωνία \(KPC\) είναι ορθή.

📐 Πρόβλημα 11

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει γωνία ίση με \(30^\circ\). Να αποδείξετε ότι μια από τις διχοτόμους του τριγώνου είναι δύο φορές μικρότερη από μια άλλη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →