🎬 Η σταθερά του Brun και η Barbra Streisand

Η σταθερά του Brun προκύπτει αν προσθέσουμε τους αντιστρόφους όλων των αριθμών που ανήκουν σε ζεύγη δίδυμων πρώτων:

\[B_2=\left(\frac13+\frac15\right)+\left(\frac15+\frac17\right)+\left(\frac1{11}+\frac1{13}\right)+\left(\frac1{17}+\frac1{19}\right)+\cdots\]

\[B_2\approx1.9021605831\ldots\]

Δίδυμοι πρώτοι ονομάζονται δύο πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά \(2\), όπως τα ζεύγη \(\{3,5\}\), \(\{5,7\}\), \(\{11,13\}\) και \(\{17,19\}\). Το \(5\) εμφανίζεται δύο φορές, επειδή συμμετέχει σε δύο διαφορετικά ζεύγη.

Το παράδοξο της σύγκλισης

Το άθροισμα των αντιστρόφων όλων των πρώτων αριθμών αποκλίνει:

\[\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\frac1{11}+\cdots=\infty.\]

Θα μπορούσε λοιπόν κανείς να περιμένει ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και με τους δίδυμους πρώτους. Όμως το 1919 ο Νορβηγός μαθηματικός Viggo Brun απέδειξε ότι το αντίστοιχο άθροισμα συγκλίνει σε έναν πεπερασμένο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάστηκε σταθερά του Brun.

Το εκπληκτικό είναι ότι η σύγκλιση ισχύει ακόμη και αν υπάρχουν άπειρα ζεύγη δίδυμων πρώτων. Οι δίδυμοι πρώτοι είναι αρκετά «αραιοί», ώστε οι αντίστροφοί τους να σχηματίζουν πεπερασμένο άθροισμα.

Υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι;

Η περίφημη εικασία των δίδυμων πρώτων υποστηρίζει ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη πρώτων της μορφής

\[(p,p+2).\]

Παρά τη μεγάλη πρόοδο στη μελέτη των μικρών αποστάσεων μεταξύ διαδοχικών πρώτων, η εικασία παραμένει αναπόδεικτη. Δεν γνωρίζουμε ακόμη αν τα ζεύγη δίδυμων πρώτων συνεχίζονται επ’ άπειρον.

💡 Γιατί η σύγκλιση δεν λύνει την εικασία;

Ένα συγκλίνον άθροισμα μπορεί να έχει είτε πεπερασμένους είτε άπειρους όρους. Για παράδειγμα,

\[\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots=1\]

έχει άπειρους όρους, αλλά πεπερασμένο άθροισμα. Επομένως, το θεώρημα του Brun δείχνει πόσο αραιοί είναι οι δίδυμοι πρώτοι· δεν αποδεικνύει αν είναι άπειροι.

Η απροσδόκητη κινηματογραφική σύνδεση

Η εικασία των δίδυμων πρώτων βρήκε θέση ακόμη και στον κινηματογράφο. Στην ταινία του 1996 The Mirror Has Two Faces —με ελληνικό τίτλο Ο Καθρέφτης Έχει Δύο Πρόσωπα— πρωταγωνιστεί η Barbra Streisand, η οποία ήταν επίσης σκηνοθέτις και παραγωγός της ταινίας.

Ο ανδρικός πρωταγωνιστικός χαρακτήρας, τον οποίο υποδύεται ο Jeff Bridges, είναι καθηγητής Μαθηματικών. Σε μία από τις διαλέξεις του αναφέρεται στους δίδυμους πρώτους και στη μυστηριώδη σχέση δύο αριθμών που βρίσκονται διαρκώς κοντά ο ένας στον άλλον — μια μαθηματική εικόνα που λειτουργεί και ως μεταφορά για τις ανθρώπινες σχέσεις της ταινίας.

Τι γνωρίζουμε για τη σταθερά;

Γνωρίζουμε πολύ καλά την αριθμητική της τιμή, αλλά δεν γνωρίζουμε αν η \(B_2\) είναι ρητός ή άρρητος αριθμός, ούτε αν είναι αλγεβρικός ή υπερβατικός. Ένας αριθμός που ορίζεται τόσο απλά εξακολουθεί να κρύβει θεμελιώδη μυστικά.

Το ουσιαστικό συμπέρασμα

Η σταθερά του Brun δεν αποδεικνύει την ύπαρξη άπειρων δίδυμων πρώτων. Αποκαλύπτει όμως κάτι εξίσου εντυπωσιακό: ακόμη κι αν αυτοί είναι άπειροι, εμφανίζονται τόσο αραιά ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς, ώστε το άθροισμα των αντιστρόφων τους δεν ξεπερνά έναν συγκεκριμένο πεπερασμένο αριθμό.

Μια όμορφη αντίθεση: οι πρώτοι αριθμοί είναι αρκετά πυκνοί ώστε το άθροισμα των αντιστρόφων τους να αποκλίνει, αλλά οι δίδυμοι πρώτοι είναι τόσο σπάνιοι ώστε το αντίστοιχο άθροισμα να συγκλίνει.

Πηγές: Viggo Brun, έρευνες για το κόσκινο του Brun και τους δίδυμους πρώτους · OEIS A065421, δεκαδική ανάπτυξη της σταθεράς του Brun · The Mirror Has Two Faces (1996).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →