![Ακουαρέλα σε απαλό χαρτί με δύο ρέουσες μεταξωτές κορδέλες να πλέκονται - σκούρα πράσινη με ετικέτα f και ροζ-λιλά με ετικέτα g, ξεκινούν από σημείο αριστερά και καταλήγουν σε δεξιά, γύρω διακριτικές πιτσιλιές σε πράσινο και ροζ, κάτω διακριτικά η ανισότητα (∫_a^b f(x)g(x) dx)² ≤ (∫_a^b f(x)² dx)(∫_a^b g(x)² dx), κομψή καλλιτεχνική απεικόνιση για το θέμα, όχι φορτωμένο infographic, εντελώς άλλη παλέτα από πριν.[a][b]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuq0Ds6tCNcN8BG7glPnHaLtOPuZKsDpd-8yC1vbmhwd8JA7D4rQ0UFw73eRS4jObDPRqLW_mkk9Vnle_Nw4Rs4vSygfuReKZJ3uzBp2TkNP4Ax_G6Ob607u11_H6rpvMpw6CjN_JuVodQsFSG9fd-Qy6eMHq6AUbsCRxjO2ubCQ6zfVUAQyAdjha0uIo/s2048/silk_ribbons_cauchy_schwarz.webp)
📐 Η ανισότητα
Έστω \(f\) και \(g\) συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα \([a, b]\). Η ανισότητα Cauchy–Schwarz–Buniakowski (γνωστή και ως ανισότητα Cauchy–Schwarz) για ολοκληρώματα διατυπώνεται ως:
\[ \left| \int_a^b f(t)g(t) \, dt \right| \leq \sqrt{\int_a^b f^2(t) \, dt} \cdot \sqrt{\int_a^b g^2(t) \, dt} \]
🧮 Απόδειξη
Για κάθε πραγματικό \(x\), έχουμε:
\[ \int_a^b (f(t) - x g(t))^2 \, dt \geq 0 \]
Αναπτύσσοντας:
\[ x^2 \int_a^b g^2(t) \, dt - 2x \int_a^b f(t)g(t) \, dt + \int_a^b f^2(t) \, dt \geq 0 \]
Αυτό το τριώνυμο στο \(x\) είναι πάντα μη-αρνητικό για όλα τα \(x\). Επομένως, η διακρίνουσά του πρέπει να είναι μη-θετική:
\[ \Delta \leq 0 \]
Δηλαδή:
\[ \left( \int_a^b f(t)g(t) \, dt \right)^2 \leq \int_a^b f^2(t) \, dt \cdot \int_a^b g^2(t) \, dt \]
Παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες, προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.
💡 Η σημασία της
Η ανισότητα αυτή είναι θεμελιώδης στην ανάλυση, τη συναρτησιακή ανάλυση, τη στατιστική και τη φυσική.
Είναι η ολοκληρωτική εκδοχή της ανισότητας Cauchy–Schwarz για εσωτερικά γινόμενα και αποτελεί ένα από τα πιο ισχυρά εργαλεία για την εκτίμηση ολοκληρωμάτων και την απόδειξη άλλων ανισοτήτων, όπως η τριγωνική ανισότητα στους χώρους \(L^2\).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου