Το 2003, ο καθηγητής Μαθηματικών George Nobl συνήθιζε να στήνει ένα τραπέζι στην Times Square της Νέας Υόρκης και να προτείνει μαθηματικά προβλήματα στους περαστικούς. Όποιος έβρισκε τη σωστή απάντηση κέρδιζε μια σοκολάτα Snickers.
Ένα από τα ωραιότερα προβλήματα που παρουσίαζε ήταν το ακόλουθο.
Ο Noah είναι ιδιοκτήτης ενός καταστήματος με γλυκίσματα και ξηρούς καρπούς. Διαθέτει 20 λίβρες κάσιους, που κοστίζουν 3,55 δολάρια ανά λίβρα, και φιστίκια που κοστίζουν 2,50 δολάρια ανά λίβρα.
Πόσες λίβρες φιστίκια πρέπει να αναμείξει με όλα τα κάσιους, ώστε το μείγμα να κοστίζει 3,20 δολάρια ανά λίβρα;
Δείτε τη λύση
Έστω \(x\) οι λίβρες των φιστικιών που πρέπει να προστεθούν.
Η αξία των 20 λιβρών κάσιους είναι
\[20\cdot3{,}55=71\ \text{δολάρια},\]ενώ η αξία των \(x\) λιβρών φιστικιών είναι \(2{,}50x\) δολάρια.
Το τελικό μείγμα ζυγίζει \(20+x\) λίβρες και πρέπει να έχει συνολική αξία \(3{,}20(20+x)\). Επομένως:
\[ 71+2{,}50x=3{,}20(20+x). \]Λύνοντας την εξίσωση:
\[ 71+2{,}50x=64+3{,}20x \Longrightarrow 7=0{,}70x \Longrightarrow x=10. \]Η σύντομη μέθοδος των διαφορών
Η τιμή των κάσιους είναι κατά \(3{,}55-3{,}20=0{,}35\) δολάρια υψηλότερη από την επιθυμητή τιμή. Η τιμή των φιστικιών είναι κατά \(3{,}20-2{,}50=0{,}70\) δολάρια χαμηλότερη.
Άρα οι ποσότητες πρέπει να βρίσκονται στον αντίστροφο λόγο των διαφορών:
\[ \frac{\text{φιστίκια}}{\text{κάσιους}} =\frac{0{,}35}{0{,}70}=\frac12. \]Εφόσον τα κάσιους είναι 20 λίβρες, τα φιστίκια πρέπει να είναι \(20/2=10\) λίβρες.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου