Στη μία διάσταση, μια παράγωγος σας δίνει απλώς μια κλίση. Σε περισσότερες διαστάσεις, όμως, χρειάζεστε κάτι πιο πλούσιο: τον πίνακα Jacobian, ο οποίος περιγράφει πώς ένας μετασχηματισμός αλλάζει μια μικρή περιοχή γύρω από ένα σημείο — σε ποια κατεύθυνση «τεντώνεται», σε ποια «συμπιέζεται», και πόσο στρίβει.
Η ορίζουσά του, η ορίζουσα Jacobian, σας λέει με έναν και μόνο αριθμό πόσο μεγεθύνεται ή συρρικνώνεται το εμβαδόν ή ο όγκος εκείνης της περιοχής.
Η ιδέα δεν εμφανίστηκε ξαφνικά. Η παλαιότερη γνωστή εμφάνιση αυτής της «λειτουργικής ορίζουσας» βρίσκεται σε άρθρο του Cauchy, ήδη από το 1815, ενώ σχετικές ιδέες ανέπτυξαν παράλληλα και οι Euler, Lagrange και Legendre.
Το 1841, ο Γερμανός μαθηματικός Carl Gustav Jacob Jacobi ενοποίησε συστηματικά αυτές τις σκόρπιες ιδέες σε ένα ενιαίο θεωρητικό πλαίσιο, στο περίφημο άρθρο του στο περιοδικό Crelle's Journal, αποδεικνύοντας θεμελιώδεις ιδιότητές του — μεταξύ άλλων, ότι αν n συναρτήσεις n μεταβλητών είναι εξαρτημένες μεταξύ τους, ο Jacobian τους είναι ταυτοτικά μηδέν.
Το όνομα «Jacobian» δεν το έδωσε ο ίδιος ο Jacobi, αλλά ο James Joseph Sylvester, το 1853 — δώδεκα χρόνια μετά το θεμελιώδες άρθρο, και δύο χρόνια μετά τον πρόωρο θάνατο του ίδιου του Jacobi, σε ηλικία μόλις 46 ετών.
Μια ενδιαφέρουσα λεπτομέρεια: ο ίδιος ο Jacobi είναι εκείνος στον οποίο αποδίδεται και η καθιέρωση του συμβόλου ∂ — ακριβώς του συμβόλου που χρησιμοποιούμε σήμερα για να γράψουμε τις μερικές παραγώγους μέσα στον ίδιο τον πίνακα που φέρει το όνομά του.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου