🪐 Ο Δεύτερος Νόμος του Kepler - Γιατί οι Πλανήτες Δεν Κινούνται με Σταθερή Ταχύτητα

📐 Ίσα εμβαδά, σε ίσο χρόνο

Ο Δεύτερος Νόμος του Kepler φαίνεται απλός με την πρώτη ματιά, αλλά μας λέει κάτι σημαντικό για την τροχιακή κίνηση: κανένας πλανήτης δεν κινείται με σταθερή ταχύτητα. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τον Ήλιο με τον πλανήτη σαρώνει ίσα εμβαδά σε ίσα χρονικά διαστήματα:

\[ \frac{dA}{dt} = \text{σταθερό} \]

Κοντά στον Ήλιο, ο πλανήτης πρέπει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση στον ίδιο χρόνο, άρα κινείται πιο γρήγορα. Μακρύτερα, κινείται πιο αργά. Ο νόμος αυτός δημοσιεύτηκε το 1609, στο έργο Astronomia Nova, βασισμένος στα εξαιρετικά ακριβή δεδομένα παρατήρησης του Tycho Brahe για την τροχιά του Άρη.

🌀 Μια συνέπεια της διατήρησης της στροφορμής

Ο νόμος αυτός δεν είναι τυχαίος — είναι άμεση συνέπεια της διατήρησης της στροφορμής. Σε πολικές συντεταγμένες (r, θ), η στροφορμή ανά μονάδα μάζας ενός πλανήτη είναι:

\[ \ell = r^2 \frac{d\theta}{dt} \]

Αφού η βαρυτική δύναμη είναι πάντα ακτινική (κατευθυνόμενη προς τον Ήλιο), δεν ασκεί καμία ροπή γύρω από τον Ήλιο — άρα η στροφορμή παραμένει σταθερή:

\[ \frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad r^2\frac{d\theta}{dt} = \ell = \text{σταθερό} \]

Το εμβαδόν που σαρώνεται από την ακτίνα σε στοιχειώδη χρόνο dt είναι \( dA = \frac{1}{2}r^2\,d\theta \), οπότε:

\[ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt} = \frac{\ell}{2} = \frac{L}{2m} \]

όπου L είναι η ολική στροφορμή και m η μάζα του πλανήτη. Αφού το L διατηρείται σταθερό καθ' όλη τη διάρκεια της τροχιάς, το ίδιο ισχύει και για τον ρυθμό σάρωσης εμβαδού — αυτός είναι ακριβώς ο λόγος για τον οποίο οι «σφήνες» ίσου εμβαδού στο διάγραμμα μπορούν να έχουν εντελώς διαφορετικά σχήματα, αντιπροσωπεύοντας όμως τον ίδιο ακριβώς χρόνο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →