📜 Το θεώρημα Steiner–Lehmus
Το κλασικό θεώρημα Steiner–Lehmus (1840) διατυπώνεται ως εξής:
«Εάν δύο εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.»
Η πρόταση αυτή, που τέθηκε από τον Lehmus στον Sturm, απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και ο Steiner έδωσε την πρώτη απόδειξη . Αποτελεί ένα από τα κλασικά θεωρήματα της γεωμετρίας του τριγώνου.
🤔 Τι συμβαίνει με τις εξωτερικές διχοτόμους;
Το ζητούμενο είναι να εξεταστεί αν το θεώρημα ισχύει και για τις εξωτερικές διχοτόμους:
«Εάν δύο εξωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες, το τρίγωνο είναι αναγκαίως ισοσκελές;»
Η απάντηση είναι όχι. Η πρόταση δεν ισχύει για τις εξωτερικές διχοτόμους. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν μη-ισοσκελή τρίγωνα στα οποία δύο εξωτερικές διχοτόμοι έχουν ίσο μήκος.
🔍 Το κλασικό αντιπαράδειγμα
Το πιο διάσημο αντιπαράδειγμα είναι το τρίγωνο με γωνίες:
\( A = 132^\circ, \quad B = 36^\circ, \quad C = 12^\circ \)
Σε αυτό το τρίγωνο, οι εξωτερικές διχοτόμοι στις κορυφές \(A\) και \(B\) (ή \(A\) και \(C\)) είναι ίσες, παρόλο που το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές. Αυτό το τρίγωνο είναι γνωστό και ως «τρίγωνο του Bottema».
Μάλιστα, υπάρχει μια ολόκληρη οικογένεια τέτοιων τριγώνων (τα τρίγωνα «Bottema»), που περιγράφονται από την εξίσωση:
\( (a + b - c)(c^2 + ab) - 2abc = 0 \)
Όπου \(a, b, c\) είναι οι πλευρές του τριγώνου.
Έτσι, η πρόταση «ίσες εξωτερικές διχοτόμοι ⇒ ισοσκελές τρίγωνο» είναι ψευδής.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου