📐 Ρητή Συνάρτηση — Πεδίο Τιμών, Supremum, Infimum, Maximum και Minimum

📐 Το πρόβλημα

Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - x + 1} \).

Να βρεθούν:

• Το πεδίο τιμών της.
• Το supremum (sup).
• Το infimum (inf).
• Το maximum (max).
• Το minimum (min).

🧮 Λύση

Πεδίο ορισμού: \( \mathbb{R} \), γιατί ο παρονομαστής \( x^2 - x + 1 \) δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Θέτουμε \( \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - x + 1} = y \). Τότε:

\[ (y - 1)x^2 - (y - 1)x + y + 2 = 0 \tag{1} \]

Για \( y = 1 \), η (1) δίνει \( 3 = 0 \), άτοπο. Άρα \( y \neq 1 \).

Για να έχει η (1) λύση στο \( \mathbb{R} \), πρέπει η διακρίνουσά της να είναι \( \Delta \geq 0 \):

\[ \Delta = (y-1)^2 - 4(y-1)(y+2) \geq 0 \]

\[ \iff (y-1)(y+3) \leq 0 \quad \text{και} \quad y \neq 1 \]

\[ \iff -3 \leq y < 1 \]

Άρα:

• Πεδίο τιμών: \( [-3, 1) \)
• Infimum: \( -3 \) (και μάλιστα minimum, γιατί η τιμή \(-3\) επιτυγχάνεται).
• Supremum: \( 1 \) (αλλά το 1 δεν επιτυγχάνεται, άρα δεν υπάρχει maximum).

✅ Τελική απάντηση

\[ \text{Πεδίο τιμών} = [-3, 1) \]

• Infimum: \(-3\)
• Minimum: \(-3\)
• Supremum: \(1\)
• Maximum: Δεν υπάρχει

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →