📊 Τι είναι;
Η συνάρτηση του Thomae (γνωστή και ως συνάρτηση του ρινίσματος, popcorn function, raindrop function ή μετρική συνάρτηση του ύψους) είναι μια πραγματική συνάρτηση \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) που ορίζεται ως:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & \text{αν } x = \frac{p}{q} \text{ είναι ρητός, με } p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, \gcd(p,q) = 1 \\ 0 & \text{αν } x \text{ είναι άρρητος} \end{cases} \)
Πήρε το όνομά της από τον Γερμανό μαθηματικό Carl Johannes Thomae (1840–1921) .
🧠 Οι ιδιότητές της
Η συνάρτηση αυτή έχει μια εκπληκτική ιδιότητα:
- Είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό.
- Είναι ασυνεχής σε κάθε ρητό αριθμό.
Επίσης:
- Είναι μηδέν στα άρρητα.
- Στα ρητά, παίρνει την τιμή \( 1/q \), όπου \( q \) είναι ο παρονομαστής του κλάσματος σε ανάγωγη μορφή.
- Είναι παντού ασυνεχής στα ρητά (δηλαδή, κάθε ρητό είναι σημείο ασυνέχειας).
- Είναι παντού συνεχής στα άρρητα (δηλαδή, κάθε άρρητο είναι σημείο συνέχειας).
- Είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann στο \( [0,1] \) με ολοκλήρωμα 0.
📖 Γιατί έχει σημασία;
Η συνάρτηση Thomae είναι ένα κλασικό παράδειγμα σε μαθήματα πραγματικής ανάλυσης. Δείχνει ότι:
- Μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε ένα πυκνό σύνολο (τα άρρητα) και ασυνεχής σε ένα άλλο πυκνό σύνολο (τα ρητά).
- Η συνέχεια δεν είναι μια «σταθερή» ιδιότητα — μπορεί να διαφέρει ανάλογα με το σημείο.
- Είναι μια εξαιρετική αντίθεση με τη συνάρτηση Dirichlet (1 στα ρητά, 0 στα άρρητα), η οποία είναι παντού ασυνεχής.
Αποτελεί μια υπενθύμιση ότι η έννοια της συνέχειας είναι πιο λεπτή και πολύπλοκη από ό,τι φαίνεται με μια πρώτη ματιά.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου