✏️ Ο γρίφος
Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \((\mathbb{R})\) η εξίσωση:
\[ \frac{x^x}{x} = x^{2025} \]
👁️ Δείτε τη Λύση
Για να έχει νόημα η \(x^x\) ως πραγματική συνάρτηση, απαιτούμε \(x>0\). Τότε:
\[ \frac{x^x}{x} = x^{x-1} \]
Η εξίσωση γίνεται \(x^{x-1}=x^{2025}\). Παίρνοντας λογάριθμο (έγκυρο αφού \(x>0\)):
\[ (x-1)\ln x = 2025\ln x \ \Longleftrightarrow\ \ln x \cdot \left[(x-1)-2025\right] = 0 \]
Άρα είτε \(\ln x = 0 \Rightarrow x=1\), είτε \(x-1=2025 \Rightarrow x=2026\). Και οι δύο τιμές επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.
\[ \boxed{x=1 \ \ \text{ή} \ \ x=2026} \]
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου