📐 YATPOPT: Ακόμη Μία Τριγωνομετρική Απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος

✍️ Η απόδειξη του John Molokach

Έστω α μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές a και b, και υποτείνουσα c, τέτοια ώστε cos α = a/c και sin α = b/c. Τότε:

\[ \cos\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos 2\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \sin\alpha, \]

το οποίο συνεπάγεται:

\[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{\sin 2\alpha \sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

Αποδεικνύεται εύκολα, χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος, ότι sin 2α = 2 sinα cosα, θεωρώντας ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση 2a και ίσες πλευρές c, και φέρνοντας το ύψος από μια γωνία της βάσης προς τη μία πλευρά. Επομένως:

\[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{\sin 2\alpha \sin\alpha}{\cos\alpha} = 1 - 2\sin^2\alpha. \]

Αλλά επίσης, από τον τύπο διπλασιασμού γωνίας:

\[ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha. \]

Εξισώνοντας τώρα τις δύο εκφράσεις για το cos 2α:

\[ 1 - 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, \]

που δίνει ακριβώς:

\[ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1. \]

🌊 Μέρος μιας αναζωπυρωμένης παράδοσης

Η απόδειξη είναι μη κυκλική: τα δύο εκφράσεις για το cos 2α προκύπτουν από τύπους αφαίρεσης και διπλασιασμού γωνιών, οι οποίοι μπορούν να θεμελιωθούν ανεξάρτητα από το ίδιο το Πυθαγόρειο θεώρημα — αποφεύγοντας έτσι τον κλασικό «φαύλο κύκλο» που για δεκαετίες θεωρούνταν αναπόφευκτος σε κάθε τέτοια απόπειρα.

Το ερώτημα αν υπάρχουν καν έγκυρες τριγωνομετρικές αποδείξεις του θεωρήματος θεωρούνταν αδύνατο μέχρι το 2009, όταν ο φυσικός Jason Zimba έδειξε ότι είναι πράγματι εφικτό. Το θέμα έγινε ξανά viral το 2024, όταν δύο μαθήτριες λυκείου, οι Ne'Kiya Jackson και Calcea Johnson, παρουσίασαν τη δική τους πρωτότυπη απόδειξη σε συνέδριο της American Mathematical Society — πυροδοτώντας ένα νέο κύμα ενδιαφέροντος για τέτοιες αποδείξεις, μέσα στο οποίο εντάσσεται και η κομψή απόδειξη του John Molokach που παρουσιάσαμε παραπάνω.

Πηγή: John Molokach, «YATPOPT: Yet Another Trigonometric Proof of the Pythagorean Theorem», μέσω cut-the-knot.org.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →