🌀 Το Άπειρο Ριζικό που Μπορεί να Είναι 0 ή 1

ΕΝΘΕΤΑ ριζικά · Σταθερά σημεία · Σύγκλιση

🌀 Το Άπειρο Ριζικό που Κρύβει μια Παγίδα

Γιατί ο ίδιος συμβολισμός φαίνεται να οδηγεί άλλοτε στο \(0\) και άλλοτε στο \(1\);

🌿 Δύο εντυπωσιακά παραδείγματα

\[ 2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} \]

\[ 6=\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\cdots}}}. \]

Τα δύο ριζικά φαίνονται διαφορετικά, αλλά υπακούουν στον ίδιο μηχανισμό.

🔍 Ο γενικός κανόνας

Θεωρούμε

\[ R_m=\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\cdots}}}. \]

Αν το ριζικό συγκλίνει σε έναν μη αρνητικό αριθμό \(L\), τότε η αφαίρεση του πρώτου εξωτερικού ριζικού αφήνει ξανά την ίδια ουρά. Επομένως

\[ L=\sqrt{m+L}\quad\Longrightarrow\quad L^2-L-m=0. \]

Για \(m>0\), η μοναδική μη αρνητική λύση είναι

\[ L=\frac{1+\sqrt{1+4m}}2. \]

✨ Πώς κατασκευάζουμε ακέραιες τιμές;

Θέλουμε το όριο να είναι ένας ακέραιος \(K>1\). Από την εξίσωση \(K^2-K-m=0\) επιλέγουμε

\[m=K^2-K.\]

Τότε πράγματι

\[ K=\sqrt{K^2-K+\sqrt{K^2-K+\sqrt{K^2-K+\cdots}}}. \]

Για \(K=2\) παίρνουμε \(m=2\), ενώ για \(K=6\) παίρνουμε \(m=30\).

🔐 Γιατί πράγματι υπάρχει σύγκλιση όταν \(m>0\);

Ορίζουμε τις πεπερασμένες προσεγγίσεις

\[x_1=\sqrt m,\qquad x_{n+1}=\sqrt{m+x_n}.\]

Αν \(L=(1+\sqrt{1+4m})/2\), τότε \(L=\sqrt{m+L}\). Επειδή \(0<x_1<L\), η μονοτονία της τετραγωνικής ρίζας δίνει επαγωγικά \(x_n<L\).

Επιπλέον, από \(x_n<L\) προκύπτει ότι \(x_{n+1}>x_n\). Άρα η ακολουθία είναι αύξουσα και άνω φραγμένη, επομένως συγκλίνει. Το όριό της πρέπει να ικανοποιεί \(x=\sqrt{m+x}\), άρα είναι το \(L\).

⚠️ Τι αλλάζει όταν \(m=0\);

Η εξίσωση του σταθερού σημείου γίνεται

\[L=\sqrt L,\]

και έχει δύο μη αρνητικές λύσεις:

\[L=0\quad\text{ή}\quad L=1.\]

Η εξίσωση από μόνη της δεν αποφασίζει ποια τιμή έχει το άπειρο ριζικό. Πρέπει να εξετάσουμε πώς ορίζεται μέσω πεπερασμένων προσεγγίσεων.

🔐 Η απάντηση στην ερώτηση του screenshot

Με τον συνηθισμένο ορισμό, κόβουμε το ριζικό σε πεπερασμένο βάθος:

\[ x_1=\sqrt0=0, \qquad x_{n+1}=\sqrt{0+x_n}. \]

Έτσι

\[x_1=x_2=x_3=\cdots=0,\]

οπότε το άπειρο ριζικό έχει τιμή 0, όχι 1.

Το \(1\) είναι επίσης σταθερό σημείο της επανάληψης, αλλά εμφανίζεται μόνο αν επιβάλουμε διαφορετική ουρά ή ξεκινήσουμε την επαναληπτική διαδικασία από θετική τιμή. Συνεπώς, στο οριακό πρόβλημα \(m=0\) ο συμβολισμός χωρίς σαφή ορισμό των προσεγγίσεων είναι αμφίσημος.

🎯 Το μάθημα του παραδόξου

Η εξίσωση σταθερού σημείου βρίσκει μόνο τις πιθανές τιμές. Δεν αποδεικνύει ούτε τη σύγκλιση ούτε ποια λύση επιλέγουν οι πεπερασμένες προσεγγίσεις. Για \(m>0\) όλα λειτουργούν ομαλά· στο \(m=0\), η λεπτομέρεια του ορισμού γίνεται καθοριστική.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →