🔢 Πόσοι όροι χρειάζονται για να γίνει το άθροισμα 1000;

Να βρεθεί ο αριθμός των όρων που πρέπει να περιλαμβάνει το άθροισμα

\[ \frac{1}{\sqrt1+\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3} +\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4} +\cdots =1000. \]

Με άλλα λόγια, να προσδιοριστεί ο θετικός ακέραιος \(n\) ώστε

\[ \boxed{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} =1000 } \]

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μην επιχειρήσετε να προσθέσετε τους όρους έναν προς έναν. Ρητοποιήστε τον παρονομαστή του γενικού όρου:

\[ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}. \]

Πολλαπλασιάστε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση

\[ \sqrt{k+1}-\sqrt{k}. \]

Στη συνέχεια γράψτε τους πρώτους 4–5 όρους του αθροίσματος στη νέα τους μορφή. Θα παρατηρήσετε ότι οι περισσότεροι όροι αλληλοαναιρούνται.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →