🌱 Μονοπάτια στο γρασίδι — Πόσες διαδρομές 100 μέτρων υπάρχουν;

🌱 Μονοπάτια στο γρασίδι — Πόσες διαδρομές υπάρχουν;

Για να φτάσουν στο σχολείο, οι άνθρωποι συχνά κόβουν δρόμο μέσα από το γρασίδι και, σιγά σιγά, δημιουργείται ένα μικρό μονοπάτι.

Μακάρι να μην τους είχαν πει ότι «η συντομότερη απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία είναι η ευθεία»! 😄

Ας υποθέσουμε όμως τώρα ότι απαγορεύεται να πατήσουμε στο γρασίδι.

Στο σχήμα υπάρχουν \(6\times4\) τετράγωνα γρασιδιού και κάθε τετράγωνο έχει πλευρά

\[ 10\text{ m}. \]

Θέλουμε να κινηθούμε από το σημείο \(α\), κάτω αριστερά, μέχρι το σημείο \(β\), πάνω δεξιά, περπατώντας μόνο πάνω στις γραμμές του πλέγματος.

🧠 Πρόκληση Συνδυαστικής

Υπάρχουν άπειρες δυνατές διαδρομές από το \(α\) στο \(β\), αν επιτρέψουμε να πηγαινοερχόμαστε όσο θέλουμε.

Πόσες όμως διαφορετικές διαδρομές ακριβώς 100 μέτρων υπάρχουν, χωρίς να πατήσουμε καθόλου στο γρασίδι;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Από το \(α\) μέχρι το \(β\) πρέπει συνολικά να μετακινηθείτε κατά

\[ 6\cdot10=60\text{ m} \]

οριζόντια και κατά

\[ 4\cdot10=40\text{ m} \]

κατακόρυφα.

Παρατηρήστε τώρα ότι

\[ 60+40=100. \]

Άρα μια διαδρομή μήκους ακριβώς \(100\) m δεν έχει περιθώριο για κανένα πισωγύρισμα.

Κάθε τέτοια διαδρομή αποτελείται λοιπόν από ακριβώς \(10\) κινήσεις:

\[ 6\text{ προς τα δεξιά} \qquad\text{και}\qquad 4\text{ προς τα πάνω}. \]

Το πρόβλημα μετατρέπεται τώρα σε καθαρή Συνδυαστική: με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τις \(6\) ίδιες οριζόντιες και τις \(4\) ίδιες κατακόρυφες κινήσεις μέσα σε μια ακολουθία \(10\) κινήσεων;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →