➗ Το Κριτήριο Διαιρετότητας με το 11 - Πώς Λειτουργεί και Γιατί

🔍 Το κριτήριο

Για να ανακαλύψετε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 11, προσθέστε τα ψηφία που βρίσκονται σε μονές θέσεις (πρώτο, τρίτο, κ.ο.κ.), και προσθέστε ξεχωριστά τα ψηφία σε ζυγές θέσεις. Αν η διαφορά ανάμεσα στα δύο αθροίσματα διαιρείται ακριβώς με το 11 (συμπεριλαμβανομένου του μηδενός), τότε διαιρείται και ο αρχικός αριθμός.

Παράδειγμα:

\[ 11 \times 198249381729 = 2180743199019 \]

Άθροισμα ψηφίων σε μονές θέσεις: \(2+8+7+3+9+0+9=38\). Άθροισμα ψηφίων σε ζυγές θέσεις: \(1+0+4+1+9+1=16\). Διαφορά: \(38-16=22\), πολλαπλάσιο του 11 — άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 11.

📐 Γιατί λειτουργεί

Το κόλπο βασίζεται σε μια απλή παρατήρηση: \(10\equiv-1\pmod{11}\), άρα:

\[ 10^k \equiv (-1)^k \pmod{11} \]

Δηλαδή, οι άρτιες δυνάμεις του 10 (\(10^0,10^2,10^4,\ldots\)) ισοδυναμούν με 1 modulo 11, ενώ οι περιττές δυνάμεις (\(10^1,10^3,\ldots\)) ισοδυναμούν με −1. Αν ένας αριθμός γράφεται ως \(N=\sum_{k} d_k \cdot 10^k\) (όπου \(d_k\) τα ψηφία του), τότε:

\[ N \equiv \sum_{k} d_k \cdot (-1)^k \pmod{11} \]

δηλαδή, ακριβώς το εναλλάξ άθροισμα των ψηφίων — η διαφορά ανάμεσα στο άθροισμα των ψηφίων σε ζυγές δυνάμεις (μονές θέσεις, μετρώντας από τα δεξιά) και σε περιττές δυνάμεις. Ο N διαιρείται με το 11 ακριβώς όταν αυτό το εναλλάξ άθροισμα διαιρείται με το 11.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →