🔢 Πολλαπλασιαστική επιμονή — Ένας αριθμός που χρειάζεται 11 βήματα για να γίνει μονοψήφιος

🔢 Πολλαπλασιαστική επιμονή — Πόσο «επίμονος» είναι ένας αριθμός;

Πάρτε έναν θετικό ακέραιο, πολλαπλασιάστε τα ψηφία του και επαναλάβετε την ίδια διαδικασία με το αποτέλεσμα.

Σταματάμε μόλις φτάσουμε σε μονοψήφιο αριθμό.

Ο αριθμός των βημάτων που χρειάζονται ονομάζεται πολλαπλασιαστική επιμονή (multiplicative persistence).

Αν συμβολίσουμε με \(D(n)\) το γινόμενο των δεκαδικών ψηφίων του \(n\), τότε ας ξεκινήσουμε από τον εντυπωσιακό αριθμό

\[ \boxed{277777788888899}. \]

Στο πρώτο βήμα έχουμε

\[ D(277777788888899) = 2\cdot7^6\cdot8^6\cdot9^2 = 4996238671872. \]

Και τώρα επαναλαμβάνουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία.

\[ 277777788888899 \] \[ \downarrow \] \[ 4996238671872 \rightarrow 438939648 \rightarrow 4478976 \rightarrow 338688 \] \[ \rightarrow 27648 \rightarrow 2688 \rightarrow 768 \rightarrow 336 \] \[ \rightarrow 54 \rightarrow 20 \rightarrow 0 \]

Χρειάζονται λοιπόν 11 διαδοχικά βήματα μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά ένας μονοψήφιος αριθμός.

Άρα η πολλαπλασιαστική επιμονή του αριθμού είναι \[ \boxed{11}. \]

🤔 Και εδώ αρχίζει το πραγματικά ενδιαφέρον…

Ο κανόνας είναι τόσο απλός που μοιάζει με παιχνίδι για παιδιά. Ωστόσο, η συμπεριφορά του κρύβει ένα πολύ βαθύτερο ερώτημα.

Στο δεκαδικό σύστημα έχουν βρεθεί αριθμοί με πολλαπλασιαστική επιμονή \(11\), όπως ο παραπάνω.

Το μεγάλο ερώτημα είναι αν υπάρχουν αριθμοί που χρειάζονται 12, 13 ή ακόμη περισσότερα βήματα.

Μπορεί η πολλαπλασιαστική επιμονή να γίνει όσο μεγάλη θέλουμε;

Ή υπάρχει κάποιο απόλυτο ανώτατο όριο;

Ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πώς ένας στοιχειώδης κανόνας πάνω στα ψηφία ενός αριθμού μπορεί να οδηγήσει πολύ γρήγορα σε ένα μη τετριμμένο μαθηματικό πρόβλημα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →