🔢 Ο αριθμός 11 και ο κρυμμένος ρυθμός των ψηφίων

Ο αριθμός 11 δεν είναι μόνο ο πρώτος διψήφιος πρώτος αριθμός. Έχει μια ιδιαίτερη σχέση με το δεκαδικό σύστημα, και αυτή η σχέση εμφανίζεται άλλοτε ως γρήγορος κανόνας πολλαπλασιασμού, άλλοτε ως κριτήριο διαιρετότητας και άλλοτε ως μια εντυπωσιακά τακτική ακολουθία επαναλαμβανόμενων δεκαδικών.

Οι ιδιότητές του δεν είναι τυχαία αριθμητικά τεχνάσματα. Πίσω από όλες βρίσκεται η απλή παρατήρηση

\[10\equiv -1\pmod {11}.\]

Δηλαδή, όταν εργαζόμαστε με υπόλοιπα διαίρεσης διά του 11, το 10 συμπεριφέρεται όπως το \(-1\). Από αυτή τη μικρή ισοδυναμία ξετυλίγεται ολόκληρη η ιστορία.

Πότε ένας τριψήφιος αριθμός διαιρείται με το 11;

Ας γράψουμε έναν τριψήφιο αριθμό ως \(\overline{abc}\), όπου \(a,b,c\) είναι τα ψηφία του. Τότε

\[\overline{abc}=100a+10b+c.\]

Επειδή \(100\equiv1\pmod{11}\) και \(10\equiv-1\pmod{11}\), παίρνουμε

\[\overline{abc}\equiv a-b+c\pmod{11}.\]

Άρα ο αριθμός διαιρείται με το 11 ακριβώς όταν το \(a-b+c\) είναι πολλαπλάσιο του 11. Για έναν τριψήφιο αριθμό αυτό οδηγεί στις δύο γνώριμες περιπτώσεις:

Χωρίς υπέρβαση
Αν \(a+c\leq9\), πρέπει \(b=a+c\).
Παράδειγμα: \(352=11\cdot32\), αφού \(3+2=5\).

Με αφαίρεση του 11
Αν \(a+c\geq11\), πρέπει \(b=a+c-11\).
Παράδειγμα: \(759=11\cdot69\), αφού \(7+9-11=5\).

Αν \(a+c=10\), δεν υπάρχει κατάλληλο μεσαίο ψηφίο: θα έπρεπε να είναι 10 ή \(-1\), και κανένα από τα δύο δεν είναι ψηφίο. Η παρατήρηση επεκτείνεται σε αριθμούς με όσα ψηφία θέλουμε. Αρκεί να σχηματίσουμε το εναλλασσόμενο άθροισμα των ψηφίων τους. Για παράδειγμα, ο 2728 διαιρείται με το 11, επειδή

\[2-7+2-8=-11.\]

Γιατί οι δεκαδικές περίοδοι είναι 09, 18, 27…;

Η κανονικότητα φαίνεται αμέσως αν γράψουμε το 11 ως παράγοντα του 99:

\[\frac1{11}=\frac9{99}=0,\overline{09}.\]

Επομένως, για \(n=1,2,\ldots,10\),

\[\frac n{11}=\frac{9n}{99}=0,\overline{9n},\]

όπου το \(9n\) γράφεται με δύο ψηφία. Έτσι προκύπτει χωρίς καμία σύμπτωση ολόκληρη η σειρά:

\[ \begin{aligned} \frac1{11}&=0,\overline{09}, & \frac2{11}&=0,\overline{18}, & \frac3{11}&=0,\overline{27}, & \frac4{11}&=0,\overline{36}, & \frac5{11}&=0,\overline{45},\\ \frac6{11}&=0,\overline{54}, & \frac7{11}&=0,\overline{63}, & \frac8{11}&=0,\overline{72}, & \frac9{11}&=0,\overline{81}, & \frac{10}{11}&=0,\overline{90}. \end{aligned} \]

Το πρώτο ψηφίο αυξάνεται και το δεύτερο μειώνεται επειδή οι αριθμοί \(09,18,27,\ldots,90\) είναι απλώς τα διαδοχικά πολλαπλάσια του 9. Κάθε περίοδος έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με 9.

Τώρα γίνεται σαφές και τι συμβαίνει με οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό. Αν \(N=11q+r\), με \(0\leq r\leq10\), τότε

\[\frac N{11}=q+\frac r{11}.\]

Το ακέραιο μέρος καθορίζεται από το \(q\), ενώ η επαναλαμβανόμενη περίοδος εξαρτάται αποκλειστικά από το υπόλοιπο \(r\). Αν \(r=0\), η διαίρεση είναι ακριβής· διαφορετικά εμφανίζεται μία από τις δέκα περιόδους του πίνακα.

Ένας γρήγορος πολλαπλασιασμός

Ο πολλαπλασιασμός ενός διψήφιου αριθμού επί 11 γίνεται με έναν κομψό κανόνα. Κρατάμε τα δύο εξωτερικά ψηφία και ανάμεσά τους τοποθετούμε το άθροισμά τους:

\[43\cdot11=4\,(4+3)\,3=473.\]

Αν το άθροισμα ξεπερνά το 9, μεταφέρουμε μία μονάδα προς τα αριστερά:

\[68\cdot11=748,\]

επειδή \(6+8=14\): γράφουμε το 4 στη μέση και προσθέτουμε το κρατούμενο 1 στο 6. Ο κανόνας δεν περιορίζεται στους διψήφιους αριθμούς. Για περισσότερα ψηφία προσθέτουμε διαδοχικά γειτονικά ψηφία, φροντίζοντας για τα κρατούμενα.

Το 11 και το τρίγωνο του Pascal

Οι πρώτες δυνάμεις του 11 σχηματίζουν ένα ακόμη γνωστό μοτίβο:

\[ 11^0=1,\qquad 11^1=11,\qquad 11^2=121,\qquad 11^3=1331,\qquad 11^4=14641. \]

Τα ψηφία είναι ακριβώς οι συντελεστές των πρώτων γραμμών του τριγώνου του Pascal. Αυτό συμβαίνει επειδή \(11^n=(10+1)^n\), οπότε εφαρμόζεται το διωνυμικό θεώρημα. Από την πέμπτη δύναμη και μετά εμφανίζονται κρατούμενα, γι’ αυτό το μοτίβο δεν διαβάζεται πλέον τόσο άμεσα μέσα στα ψηφία.

Το συμπέρασμα: το 11 δεν διαθέτει ανεξήγητες μαγικές δυνάμεις. Βρίσκεται όμως σε ιδανική θέση μέσα στο δεκαδικό σύστημα: είναι ακριβώς μία μονάδα μεγαλύτερο από τη βάση 10. Αυτή η γειτνίαση γεννά τους εναλλασσόμενους ελέγχους, τους γρήγορους πολλαπλασιασμούς και τις δίψηφες δεκαδικές περιόδους που το κάνουν τόσο ξεχωριστό.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα