📐 Μια Πανέμορφη Γεωμετρική Απόδειξη ότι το √2 Είναι Άρρητος Αριθμός

Ο μαθηματικός Tom Apostol παρουσίασε μια εξαιρετικά κομψή γεωμετρική απόδειξη της αρρητότητας του \(\sqrt2\), βασισμένη στην αρχαία ιδέα της άπειρης καθόδου.

Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι το \(\sqrt2\) είναι ρητός αριθμός. Τότε μπορούμε να γράψουμε

\[ \sqrt2=\frac{m}{n}, \qquad m,n\in\mathbb N. \]

Άρα υπάρχει ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες κάθετες πλευρές \(n\) και ακέραια υποτείνουσα \(m\). Από όλα τα τέτοια τρίγωνα επιλέγουμε εκείνο με τις μικρότερες δυνατές ακέραιες πλευρές.

Τώρα έρχεται η όμορφη γεωμετρική ιδέα. Με την κατασκευή των κατάλληλων τόξων, όπως φαίνεται στο σχήμα, μέσα από το αρχικό τρίγωνο προκύπτει ένα νέο, μικρότερο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

Το κρίσιμο σημείο είναι ότι και οι πλευρές του μικρότερου τριγώνου είναι ακέραιοι αριθμοί. Επομένως έχουμε κατασκευάσει ένα μικρότερο τρίγωνο του ίδιου τύπου με εκείνο που υποθέσαμε ότι ήταν το μικρότερο δυνατό.

Αυτό είναι αδύνατο.

Και αν επαναλαμβάναμε την ίδια κατασκευή, θα παίρναμε συνεχώς μικρότερα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με θετικές ακέραιες πλευρές:

\[ T_1>T_2>T_3>T_4>\cdots \]

Θα είχαμε δηλαδή μια άπειρη φθίνουσα ακολουθία θετικών ακεραίων, πράγμα αδύνατο.

Η αρχική υπόθεση ήταν λοιπόν λανθασμένη. Δεν μπορούν να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι \(m,n\) τέτοιοι ώστε

\[ \sqrt2=\frac{m}{n}. \]

Επομένως,

\[ \boxed{\sqrt2\notin\mathbb Q}. \]

Η ομορφιά της απόδειξης βρίσκεται στο ότι η αρρητότητα του \(\sqrt2\) δεν προκύπτει εδώ από αλγεβρικούς χειρισμούς ή από την παραδοσιακή απόδειξη με άρτιους και περιττούς αριθμούς. Η ίδια η γεωμετρία δημιουργεί την αντίφαση: αν υπήρχε ένα τέτοιο ακέραιο τρίγωνο, τότε θα υπήρχε πάντοτε ένα ακόμη μικρότερο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →