🔢 2¹²⁷−1: Ο τεράστιος πρώτος αριθμός που απέδειξε ο Édouard Lucas χωρίς υπολογιστή

Το 1876, πολύ πριν από τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, ο Γάλλος μαθηματικός Édouard Lucas πέτυχε κάτι εξαιρετικό: απέδειξε ότι ο αριθμός

\[ \boxed{2^{127}-1} \]

είναι πρώτος αριθμός.

Πρόκειται για έναν αριθμό με 39 ψηφία:

\[ 2^{127}-1= 170141183460469231731687303715884105727. \]

Δεν έχει κανέναν θετικό διαιρέτη εκτός από το \(1\) και τον ίδιο.

🧮 Υπολογισμοί χωρίς ηλεκτρονικό υπολογιστή

Σήμερα ένας υπολογιστής μπορεί να χειριστεί έναν αριθμό 39 ψηφίων χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Στα χρόνια του Lucas, όμως, κάθε βήμα έπρεπε να πραγματοποιηθεί με χειροκίνητους υπολογισμούς και κατάλληλες μαθηματικές μεθόδους.

Η επιτυχία του ήταν τόσο εντυπωσιακή ώστε ο \(2^{127}-1\) αναφέρεται ως ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή.

🔍 Τι είναι ένας πρώτος Mersenne;

Οι αριθμοί της μορφής

\[ M_p=2^p-1 \]

ονομάζονται αριθμοί Mersenne. Όταν ένας τέτοιος αριθμός είναι πρώτος, ονομάζεται πρώτος Mersenne.

Το ότι ο εκθέτης \(p\) είναι πρώτος είναι απαραίτητη προϋπόθεση, αλλά δεν αρκεί. Για παράδειγμα, το \(11\) είναι πρώτος, όμως

\[ 2^{11}-1=2047=23\cdot89, \]

οπότε ο \(2^{11}-1\) δεν είναι πρώτος.

⚙️ Από τον Lucas στο τεστ Lucas–Lehmer

Οι ιδέες του Lucas για τον έλεγχο των αριθμών Mersenne εξελίχθηκαν αργότερα από τον Αμερικανό μαθηματικό Derrick Henry Lehmer. Έτσι προέκυψε το περίφημο τεστ Lucas–Lehmer, ένα εξαιρετικά αποτελεσματικό τεστ για να διαπιστώνουμε αν ένας αριθμός Mersenne είναι πρώτος.

Για έναν αριθμό

\[ M_p=2^p-1, \]

ξεκινάμε από

\[ s_0=4 \]

και επαναλαμβάνουμε:

\[ s_{n+1}=s_n^2-2 \pmod{M_p}. \]

Για πρώτο \(p>2\), ο \(M_p\) είναι πρώτος ακριβώς όταν

\[ s_{p-2}\equiv0\pmod{M_p}. \]

💡 Από το χαρτί στους σύγχρονους υπολογιστές

Η απόδειξη του Lucas για τον \(2^{127}-1\) ανήκει στην εποχή των χειροκίνητων υπολογισμών. Οι ιδέες που ανέπτυξε, όμως, έγιναν η βάση μιας μεθόδου που εξακολουθεί να βρίσκεται στο κέντρο της αναζήτησης τεράστιων πρώτων αριθμών Mersenne.

Ένας αριθμός 39 ψηφίων, μια απόδειξη του 19ου αιώνα και μια μαθηματική ιδέα που έφτασε μέχρι την εποχή των υπολογιστών.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →