🔺 Το γιγάντιο τρίγωνο των δυνάμεων του 2 — Βρείτε το άθροισμα-

🔺 Το γιγάντιο τρίγωνο των δυνάμεων του 2

Το αριθμητικό τρίγωνο της εικόνας είναι τόσο μεγάλο, ώστε δεν μπορούμε να το σχεδιάσουμε ολόκληρο!

Αποτελείται από ακριβώς \(N\) γραμμές και ακολουθεί το μοτίβο:

\[ \begin{array}{c} 1\\[4pt] 2\quad2\\[4pt] 4\quad4\quad4\\[4pt] 8\quad8\quad8\quad8\\[4pt] 16\quad16\quad16\quad16\quad16\\ \vdots \end{array} \]

Δηλαδή, στην \(k\)-οστή γραμμή υπάρχουν ακριβώς \(k\) ίδιοι αριθμοί.

❓ Πρόκληση

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των αριθμών του τριγώνου;
Βρείτε έναν τύπο που να εξαρτάται μόνο από το \(N\).

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Παρατηρήστε πρώτα ποιος αριθμός εμφανίζεται στην \(k\)-οστή γραμμή.

Στη συνέχεια βρείτε το άθροισμα μόνο αυτής της γραμμής. Έτσι το συνολικό ζητούμενο μπορεί να γραφτεί ως

\[ \sum_{k=1}^{N} k\,2^{\,k-1}. \]

Τώρα αναζητήστε έναν τρόπο να υπολογίσετε αυτό το άθροισμα χωρίς να προσθέσετε τους όρους έναν προς έναν. Μια χρήσιμη ιδέα είναι να ξεκινήσετε από το γνωστό γεωμετρικό άθροισμα και να σκεφτείτε πώς μπορεί να εμφανιστεί ο παράγοντας \(k\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →