🔢 Δυνάμεις του 2 που «Γεννούν» Όλους τους Θετικούς Ρητούς Αριθμούς

🔢 Μια Έκπληξη Κρυμμένη στα Αθροίσματα Δυνάμεων του 2

Ας πάρουμε έναν φυσικό αριθμό \(n\) και ας προσπαθήσουμε να τον γράψουμε ως άθροισμα δυνάμεων του 2, επιτρέποντας όμως κάθε δύναμη να εμφανίζεται το πολύ δύο φορές.

Για παράδειγμα, ο αριθμός \(10\) μπορεί να γραφτεί με πέντε διαφορετικούς τρόπους:

\[ \begin{aligned} 10&=8+2\\ &=8+1+1\\ &=4+4+2\\ &=4+4+1+1\\ &=4+2+2+1+1. \end{aligned} \]

Αν συμβολίσουμε με \(S(n)\) το πλήθος αυτών των αναπαραστάσεων και θέσουμε \(S(0)=1\), οι πρώτες τιμές είναι:

\[ 1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,\ldots \]

Μέχρι εδώ μοιάζει απλώς με μια παράξενη ακολουθία ακεραίων. Η πραγματική έκπληξη εμφανίζεται όταν διαιρέσουμε κάθε όρο με τον επόμενό του:

\[ \frac11,\; \frac12,\; \frac21,\; \frac13,\; \frac32,\; \frac23,\; \frac31,\; \frac14,\; \frac43,\; \frac35,\; \frac52,\ldots \]

Δεν πρόκειται για μια τυχαία συλλογή κλασμάτων. Κάθε θετικός ρητός αριθμός εμφανίζεται σε αυτή την ακολουθία μία και μόνο μία φορά, ήδη σε ανάγωγη μορφή.

Τα κλάσματα αυτά είναι ακριβώς εκείνα που συναντάμε στο περίφημο δέντρο Calkin–Wilf. Ξεκινώντας από το \(1/1\), κάθε κλάσμα \(i/j\) αποκτά δύο «παιδιά»:

\[ \frac{i}{i+j} \qquad\text{και}\qquad \frac{i+j}{j}. \]

Έτσι, ένα φαινομενικά αθώο παιχνίδι με αθροίσματα των \(1,2,4,8,16,\ldots\) καταλήγει σε κάτι πολύ βαθύτερο: σε μια συστηματική απαρίθμηση όλων των θετικών ρητών αριθμών. Και αυτό μας δίνει ακόμη έναν εντυπωσιακό τρόπο να δούμε ότι οι ρητοί είναι αριθμήσιμοι — υπάρχουν «τόσοι» ρητοί όσοι και φυσικοί αριθμοί. 

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →