🎲 Οι 30 Κύβοι του MacMahon – Ένα Όμορφο Πρόβλημα Συνδυαστικής

🎲 Οι 30 Κύβοι του MacMahon

Έχουμε έναν κύβο και έξι διαφορετικά χρώματα. Χρωματίζουμε κάθε έδρα του κύβου με διαφορετικό χρώμα, χρησιμοποιώντας και τα έξι.

Δύο κύβοι θεωρούνται ίδιοι αν μπορούμε, απλώς περιστρέφοντας τον έναν, να τον κάνουμε να συμπέσει με τον άλλο.

🧩 Το πρόβλημα

Πόσους πραγματικά διαφορετικούς κύβους μπορούμε να κατασκευάσουμε;

\(6!\);   \(120\);   \(60\);   \(30\);   ή κάποιος άλλος αριθμός;

🔍 Δείτε την απάντηση

Αν οι έξι έδρες θεωρούνταν σταθερές, θα είχαμε

\[ 6!=720 \]

διαφορετικές τοποθετήσεις των έξι χρωμάτων.

Όμως ένας κύβος μπορεί να πάρει 24 διαφορετικούς προσανατολισμούς μέσω περιστροφών. Επειδή κάθε χρώμα χρησιμοποιείται ακριβώς μία φορά, καμία μη τετριμμένη περιστροφή δεν αφήνει έναν τέτοιο χρωματισμό αμετάβλητο.

Επομένως:

\[ \boxed{\frac{6!}{24}=\frac{720}{24}=30} \]

Υπάρχουν ακριβώς 30 διαφορετικοί κύβοι.

🎨 Οι κύβοι MacMahon

Αυτοί οι 30 χρωματιστοί κύβοι είναι γνωστοί ως κύβοι MacMahon, από τον Βρετανό μαθηματικό Percy Alexander MacMahon (1854–1929), έναν από τους σημαντικούς πρωτοπόρους της συνδυαστικής.

Οι κύβοι δεν αποτελούν απλώς μια όμορφη απαρίθμηση. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή εξαιρετικά δύσκολων παζλ.

Στο κλασικό πρόβλημα επιλέγουμε έναν από τους 30 κύβους ως πρότυπο και προσπαθούμε να επιλέξουμε 8 από τους υπόλοιπους 29, ώστε να σχηματίσουμε έναν κύβο \(2\times2\times2\):

• με τις εξωτερικές έδρες χρωματισμένες όπως στον κύβο-πρότυπο και
• με τις εσωτερικές έδρες που εφάπτονται να έχουν το ίδιο χρώμα.

🔥 Και τώρα η μεγάλη πρόκληση

Ας κάνουμε το ίδιο όχι μόνο στον κύβο αλλά και στα υπόλοιπα Πλατωνικά στερεά.

Σε κάθε περίπτωση έχουμε τόσα διαφορετικά χρώματα όσες και οι έδρες του στερεού και χρησιμοποιούμε κάθε χρώμα ακριβώς μία φορά.

1. Πόσα διαφορετικά τετράεδρα μπορούμε να κατασκευάσουμε με 4 χρώματα;

2. Πόσα διαφορετικά οκτάεδρα μπορούμε να κατασκευάσουμε με 8 χρώματα;

3. Πόσα διαφορετικά δωδεκάεδρα μπορούμε να κατασκευάσουμε με 12 χρώματα;

4. Και πόσα διαφορετικά εικοσάεδρα μπορούμε να κατασκευάσουμε με 20 χρώματα;

🔍 Δείτε τις απαντήσεις της μεγάλης πρόκλησης

Η ίδια βασική ιδέα εφαρμόζεται σε όλα τα Πλατωνικά στερεά. Διαιρούμε το \(F!\), όπου \(F\) είναι ο αριθμός των εδρών, με τον αριθμό των περιστροφικών συμμετριών του στερεού.

\[ \text{Τετράεδρο:}\qquad \frac{4!}{12}=\boxed{2} \]

\[ \text{Κύβος:}\qquad \frac{6!}{24}=\boxed{30} \]

\[ \text{Οκτάεδρο:}\qquad \frac{8!}{24}=\boxed{1680} \]

\[ \text{Δωδεκάεδρο:}\qquad \frac{12!}{60}=\boxed{7\,983\,360} \]

\[ \text{Εικοσάεδρο:}\qquad \frac{20!}{60} = \boxed{40\,548\,366\,802\,944\,000} \]

Η εκρηκτική αύξηση των αριθμών δείχνει πόσο γρήγορα ένα φαινομενικά απλό πρόβλημα χρωματισμού μετατρέπεται σε ένα τεράστιο πρόβλημα συνδυαστικής.

Έξι χρώματα και ένας κύβος αρκούν για να δημιουργήσουν
30 διαφορετικούς κόσμους — και μια ολόκληρη οικογένεια μαθηματικών παζλ.

📚 Περισσότερα για τους κύβους MacMahon:

MacMahon's Cubes – ETH Zürich

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →