🔺Απεριόριστα μεγάλοι τριγωνικοί αριθμοί προσθέτοντας μηδενικά στο 55

Ξεκινήστε από τον αριθμό \(55\). Τοποθετήστε ένα μηδενικό ανάμεσα στα δύο \(5\) και ένα ακόμη στο τέλος. Έπειτα τοποθετήστε δύο μηδενικά στις ίδιες θέσεις, μετά τρία, και συνεχίστε:

\[ 55,\quad 5\,050,\quad 500\,500,\quad 50\,005\,000,\quad\ldots \]

Όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι τριγωνικοί. Και το μοτίβο μπορεί να συνεχιστεί όσο θέλουμε, δημιουργώντας απεριόριστα μεγάλους τριγωνικούς αριθμούς.

Τι είναι ένας τριγωνικός αριθμός;

Ο \(n\)-οστός τριγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των πρώτων \(n\) θετικών ακεραίων:

\[ T_n=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2. \]

Η ονομασία προέρχεται από το γεγονός ότι \(T_n\) αντικείμενα μπορούν να τοποθετηθούν σε \(n\) διαδοχικές σειρές και να σχηματίσουν ισόπλευρο τριγωνικό μοτίβο.

Οι τέσσερις πρώτες επαληθεύσεις

\[ \begin{aligned} T_{10} &=\frac{10\cdot11}{2}=55,\\ T_{100} &=\frac{100\cdot101}{2}=5\,050,\\ T_{1000} &=\frac{1000\cdot1001}{2}=500\,500,\\ T_{10000} &=\frac{10000\cdot10001}{2}=50\,005\,000. \end{aligned} \]

Ο γενικός κανόνας

Παίρνουμε ως δείκτη μια δύναμη του \(10\), δηλαδή \(n=10^k\), όπου \(k\ge1\). Τότε

\[ \begin{aligned} T_{10^k} &=\frac{10^k(10^k+1)}2\\ &=5\cdot10^{k-1}(10^k+1)\\ &=5\cdot10^{2k-1}+5\cdot10^{k-1}. \end{aligned} \]

Η τελευταία μορφή εξηγεί αμέσως τα ψηφία. Ο πρώτος προσθετέος τοποθετεί ένα \(5\) στη θέση \(10^{2k-1}\), ενώ ο δεύτερος ένα \(5\) στη θέση \(10^{k-1}\). Όλες οι υπόλοιπες θέσεις γεμίζουν με μηδενικά.

\[ T_{10^k} = \underbrace{5\,00\ldots0}_{k\ \text{ψηφία}}\, \underbrace{5\,00\ldots0}_{k\ \text{ψηφία}}. \]

Δηλαδή: ένα \(5\), κατόπιν \(k-1\) μηδενικά, ακόμη ένα \(5\) και τέλος άλλα \(k-1\) μηδενικά.

Δείτε το επόμενο παράδειγμα

Για \(k=5\) έχουμε \(n=10^5=100\,000\). Επομένως

\[ T_{100000} =\frac{100000\cdot100001}{2} =5\,000\,050\,000. \]

Πράγματι, γράψαμε ένα \(5\), τέσσερα μηδενικά, ακόμη ένα \(5\) και άλλα τέσσερα μηδενικά:

\[ \boxed{5000050000}. \]

Η δύναμη του \(10\) καθορίζει τις θέσεις των δύο ψηφίων \(5\), ενώ ο τύπος του τριγωνικού αριθμού εγγυάται ότι το αποτέλεσμα είναι πάντοτε τριγωνικό.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →