📐Μια Ατελείωτη Διχοτόμηση μιας Γωνίας 60° — Πού Καταλήγει;

Ξεκινάμε με μια γωνία \(60^\circ\) και τη διχοτομούμε. Στη συνέχεια διχοτομούμε την κάτω γωνία των \(30^\circ\), έπειτα την πάνω γωνία των \(15^\circ\) και συνεχίζουμε επ' άπειρον, επιλέγοντας κάθε φορά εναλλάξ την πάνω και την κάτω από τις δύο τελευταίες γωνίες που έχουν δημιουργηθεί.

Οι διαδοχικές διχοτόμοι πλησιάζουν όλο και περισσότερο σε μια συγκεκριμένη οριακή ημιευθεία, η οποία χωρίζει την αρχική γωνία των \(60^\circ\) σε δύο γωνίες.

Ποιο είναι το μέτρο, σε μοίρες, της μικρότερης από τις δύο γωνίες;

💡 Εμφάνιση λύσης

Μετρώντας τη θέση των διαδοχικών ημιευθειών από την κάτω πλευρά της αρχικής γωνίας, παίρνουμε:

\[ 30^\circ,\quad 15^\circ,\quad 22.5^\circ,\quad 18.75^\circ,\quad 20.625^\circ,\ldots \]

Η οριακή γωνία επομένως γράφεται ως εναλλασσόμενο γεωμετρικό άθροισμα:

\[ 30-15+7.5-3.75+\cdots \]

Πρόκειται για άπειρη γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο \(30\) και λόγο \(-\frac12\). Άρα:

\[ S=\frac{30}{1-\left(-\frac12\right)} =\frac{30}{\frac32} =20. \]

Η οριακή ημιευθεία χωρίζει λοιπόν τη γωνία των \(60^\circ\) σε

\[ 20^\circ \quad\text{και}\quad 40^\circ. \]

Επομένως, η μικρότερη γωνία είναι

\[ \boxed{20^\circ} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →