🐟 Τα 60 ψάρια που αλλάζουν χρώμα — Μπορούν να γίνουν όλα ίδια;

🐟 Τα 60 ψάρια που αλλάζουν χρώμα

Αγόρασα 60 ψάρια που φιλιούνται.

Όχι επειδή είναι ιδιαίτερα στοργικά· απλώς έτσι... αλλάζουν χρώμα! 😄

Κάθε ψάρι μπορεί να είναι μπλε, κίτρινο ή κόκκινο. Όταν δύο ψάρια διαφορετικού χρώματος φιληθούν, μετατρέπονται και τα δύο στο τρίτο χρώμα.

🎨 Οι κανόνες

🔴 + 🟡 → 🔵 + 🔵
🔵 + 🔴 → 🟡 + 🟡
🟡 + 🔵 → 🔴 + 🔴

Όταν τα αγόρασα, είχα:

🔵 18 μπλε

🟡 20 κίτρινα

🔴 22 κόκκινα

🤔 Η πρόκληση

Είναι δυνατόν, ύστερα από μια κατάλληλη σειρά φιλιών, και τα 60 ψάρια να αποκτήσουν το ίδιο χρώμα;

Μπορούμε να επιλέγουμε κάθε φορά όποια δύο ψάρια διαφορετικού χρώματος θέλουμε και να συνεχίσουμε όσο θέλουμε.

🧠 Μην προσπαθήσεις να προβλέψεις όλα τα φιλιά.
Ψάξε κάτι που δεν μπορεί να αλλάξει.

🔍 Εμφάνιση λύσης

Ας συμβολίσουμε με

\[ B,\qquad K,\qquad R \]

τους αριθμούς των μπλε, κίτρινων και κόκκινων ψαριών αντίστοιχα.

Αρχικά έχουμε:

\[ (B,K,R)=(18,20,22). \]

1️⃣ Τι αλλάζει σε ένα φιλί;

Ας υποθέσουμε ότι φιλιούνται ένα μπλε και ένα κίτρινο ψάρι. Και τα δύο γίνονται κόκκινα.

Τότε:

\[ (B,K,R)\longrightarrow(B-1,K-1,R+2). \]

Παρατήρησε τώρα κάτι πολύ σημαντικό:

\[ -1\equiv2\pmod3. \]

Επομένως, modulo \(3\), το συγκεκριμένο φιλί μεταβάλλει και τους τρεις αριθμούς κατά την ίδια ποσότητα.

Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει και στα άλλα δύο είδη φιλιών.

💡 Το αναλλοίωτο

Οι διαφορές \[ B-K,\qquad K-R,\qquad R-B \] δεν αλλάζουν modulo \(3\), όσα φιλιά κι αν πραγματοποιηθούν.

2️⃣ Τι συμβαίνει στην αρχή;

Οι αρχικοί αριθμοί είναι:

\[ 18,\qquad20,\qquad22. \]

Modulo \(3\), αυτοί είναι:

\[ 18\equiv0,\qquad 20\equiv2,\qquad 22\equiv1\pmod3. \]

Άρα τα τρία πλήθη έχουν τρεις διαφορετικούς υπολοίπους modulo \(3\):

\[ \boxed{0,\;2,\;1}. \]

Και επειδή κάθε φιλί μεταβάλλει και τα τρία υπόλοιπα κατά την ίδια ποσότητα modulo \(3\), θα συνεχίσουν πάντοτε να είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

3️⃣ Τι θα έπρεπε να συμβεί αν όλα γίνονταν ίδια;

Αν στο τέλος όλα τα ψάρια ήταν, για παράδειγμα, μπλε, θα είχαμε:

\[ (B,K,R)=(60,0,0). \]

Αλλά modulo \(3\):

\[ 60\equiv0,\qquad0\equiv0,\qquad0\equiv0. \]

Δηλαδή τα τρία πλήθη θα είχαν τον ίδιο υπόλοιπο.

Το ίδιο ακριβώς θα συνέβαινε αν όλα γίνονταν κίτρινα:

\[ (0,60,0), \]

ή όλα κόκκινα:

\[ (0,0,60). \]

Και στις τρεις περιπτώσεις τα υπόλοιπα modulo \(3\) θα ήταν

\[ (0,0,0). \]

Αυτό όμως είναι αδύνατον, αφού ξεκινήσαμε με τρεις διαφορετικούς υπολοίπους και αυτή η ιδιότητα δεν μπορεί να χαθεί.

🎯 Συμπέρασμα

\[ \boxed{\text{Τα 60 ψάρια δεν μπορούν ποτέ να γίνουν όλα του ίδιου χρώματος.}} \]

✨ Γιατί είναι τόσο όμορφο αυτό το πρόβλημα;

Θα μπορούσαμε να αρχίσουμε να δοκιμάζουμε φιλιά:

\[ (18,20,22)\rightarrow(17,19,24)\rightarrow\cdots \]

και πολύ γρήγορα θα καταλήγαμε σε έναν τεράστιο αριθμό πιθανών περιπτώσεων.

Αντί γι' αυτό, αναζητήσαμε μια ιδιότητα που παραμένει αναλλοίωτη σε κάθε επιτρεπτή κίνηση.

🧠 Η μαθηματική ιδέα

Όταν ένα πρόβλημα περιγράφει μια διαδικασία που μπορεί να επαναλαμβάνεται με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, συχνά δεν χρειάζεται να εξετάσουμε όλες τις πιθανές κινήσεις. Αξίζει πρώτα να αναζητήσουμε ένα αναλλοίωτο: κάτι που καμία επιτρεπτή κίνηση δεν μπορεί να αλλάξει.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →