EisatoponAI: 🔢 Οι 7 Ρίζες του 7 – Ποιο Είναι το Άθροισμα και το Γινόμενό τους;

$Οι επτά μιγαδικές έβδομες ρίζες $Z_1,Z_2,\ldots,Z_7$ του αριθμού $7$, με ζητούμενα το άθροισμα $\sum_{n=1}^{7}Z_n$ και το γινόμενο $\prod_{n=1}^{7}Z_n$, παρουσιασμένες σε ψηφιακό σχολικό πίνακα με το λογότυπο του Eisatopon κάτω δεξιά.$
🔢 Οι 7 Ρίζες του 7

Έστω $z_1,z_2,\ldots,z_7$ όλες οι μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης

\[ z^7=7. \]

Με άλλα λόγια, οι $z_1,z_2,\ldots,z_7$ είναι οι επτά έβδομες ρίζες του $7$ στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

🔍 Πρόκληση

Χωρίς να υπολογίσετε ξεχωριστά τις επτά ρίζες, μπορείτε να βρείτε:

\[ \boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^{7}z_n=?} \]

και

\[ \boxed{\displaystyle\prod_{n=1}^{7}z_n=?} \]

🔍 Δείτε τη λύση

Οι αριθμοί $z_1,z_2,\ldots,z_7$ είναι ακριβώς οι ρίζες του πολυωνύμου

\[ P(z)=z^7-7. \]

Εφαρμόζουμε τους τύπους του Viète. Ο συντελεστής του $z^6$ είναι μηδέν, επομένως

\[ \boxed{\displaystyle z_1+z_2+\cdots+z_7=0}. \]

Για το γινόμενο των ριζών ενός μονικού πολυωνύμου έβδομου βαθμού έχουμε

\[ z_1z_2\cdots z_7=(-1)^7(-7)=7. \]

Άρα:

\[ \boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{7}z_n=0, \qquad \prod_{n=1}^{7}z_n=7}. \]