🌀 Δύο στερεά περιστροφής με ίσο όγκο — Ποια είναι η τιμή του a;

🌀 Δύο στερεά περιστροφής με ίσο όγκο

Θεωρούμε το τμήμα της παραβολής

\[ y=x^2,\qquad 0\le x\le a, \]

από το σημείο \((0,0)\) μέχρι το σημείο \((a,a^2)\).

Για να μιλήσουμε για όγκο και όχι απλώς για επιφάνεια περιστροφής, θεωρούμε την περιοχή

\[ 0\le y\le x^2,\qquad 0\le x\le a. \]

Περιστρέφουμε αυτή την περιοχή:

• μία φορά γύρω από τον άξονα \(x\),
• και μία φορά γύρω από τον άξονα \(y\).

❓ Πρόβλημα

Για ποια θετική τιμή του \(a\) οι δύο όγκοι είναι ίσοι;

Και τι αλλάζει αν αντί για την παραβολή χρησιμοποιήσουμε την καμπύλη \[ y=x^3; \]

ή, ακόμη γενικότερα,

\[ \boxed{y=x^n}\qquad (n>1); \]

Μπορείτε να βρείτε το \(a=a_n\) και στη συνέχεια να υπολογίσετε \[ \boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}\;? \]

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μην ξεκινήσετε ειδικά από το \(n=2\). Δοκιμάστε κατευθείαν τη γενική περίπτωση

\[ y=x^n. \]

Για την περιστροφή γύρω από τον άξονα \(x\), χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δίσκων:

\[ V_x=\pi\int_0^a (x^n)^2\,dx. \]

Για την περιστροφή γύρω από τον άξονα \(y\), είναι ιδιαίτερα βολική η μέθοδος των κυλινδρικών φλοιών:

\[ V_y=2\pi\int_0^a x\cdot x^n\,dx. \]

Θέστε τώρα

\[ V_x=V_y \]

και προσπαθήστε να απομονώσετε το \(a\) ως συνάρτηση του \(n\).

Για το τελευταίο ερώτημα, αφού βρείτε το \(a_n\), εξετάστε τι συμβαίνει όταν \(n\to\infty\). Ίσως σας βοηθήσει να πάρετε λογάριθμο πριν υπολογίσετε το όριο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →