Δίνονται δύο αριθμοί \(A\) και \(B\) για τους οποίους ισχύει
\[
A+B=1
\]
\[
A^2+B^2=2.
\]
Να υπολογίσετε την τιμή
\[
\boxed{A^3+B^3=?}
\]
⚠️ Ο μοναδικός όρος:
Δεν επιτρέπεται να υπολογίσετε πρώτα τις τιμές των \(A\) και \(B\). Το ζητούμενο πρέπει να βρεθεί απευθείας από τις δύο δεδομένες σχέσεις.
💡 Εμφάνιση υπόδειξης
Από την ταυτότητα
\[
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
\]
μπορείτε να προσδιορίσετε το γινόμενο \(AB\) χωρίς να γνωρίζετε τους δύο αριθμούς.
Στη συνέχεια θυμηθείτε ότι
\[
A^3+B^3=(A+B)^3-3AB(A+B).
\]
Τώρα όλα τα μεγέθη στη δεξιά πλευρά είναι γνωστά. Δεν χρειάστηκε πουθενά να λύσετε ως προς \(A\) ή \(B\).
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Αν θέλουμε όμως να είμαστε ακόμα πιο αυστηροί και να μη μεσολαβήσει καν ο ξεχωριστός υπολογισμός του γινομένου 𝐴𝐵 ως ενδιάμεσο βήμα, μπορούμε να συνδυάσουμε τις ταυτότητες σε μία ενιαία τελική formula που συνδέει απευθείας τις τρεις εκφράσεις:
ΑπάντησηΔιαγραφήΓνωρίζουμε ότι:
Α+Β=1 (1)
Α^2+Β^2=2 (2)
Α^3+Β^3=?
Η αλγεβρική ταυτότητα που δίνει το Α^3+Β^3 συναρτήσει αποκλειστικά και μόνο των όρων (Α+Β) και (Α^2+Β^2=Α^2+2ΑΒ+Β^2) είναι η εξής;
(Α^3+Β^3)=(Α+Β)*[3*(Α^2+Β^2)-(Α+Β)^2]/2*
Αντικαθιστώντας απευθείας τις δύο δεδομένες τιμές στη σχέση αυτή, έχουμε:
Α^3+Β^3=(Α+Β)* [3*(Α^2+Β^2)-(Α+Β)^2]/2 === Α^3+Β^3=1* [3*(2)-(1)^2]/2 === Α^3+Β^3=[1*(6-1)]/2 === Α^3+Β^3=(1*5)/2 === Α^3+Β^3=5/2 === Α^3+Β^3=2,50
Με αυτόν τον τρόπο, το αποτέλεσμα προκύπτει με μία μόνο κίνηση από τις αρχικές σχέσεις, χωρίς να γνωρίζουμε (και χωρίς να μας ενδιαφέρει) ποιες είναι οι πραγματικές ή μιγαδικές τιμές των Α και Β.
*Ενιαία τελική formula
Η ενιαία formula προκύπτει συνδυάζοντας δύο κλασικές αλγεβρικές ταυτότητες με σκοπό να απαλείψουμε εντελώς τον όρο 𝐴𝐵. Ας δούμε
βήμα-βήμα την απόδειξη:
1. Οι δύο βασικές ταυτότητες
Ξεκινάμε από τις δύο γνωστές σχέσεις που περιέχουν το γινόμενο Α𝐵:
Τετράγωνο αθροίσματος:
(Α^2+Β^2)=Α^2+2ΑΒ+Β^2 === 2ΑΒ=(Α+Β)^2-(Α^2+Β^2)
Άθροισμα κύβων:
(Α^3+Β^3)=(Α+Β)*(Α^2-ΑΒ+Β^2)
2. Η απαλοιφή του όρου 𝐴𝐵
Για να διευκολύνουμε τις πράξεις στην ταυτότητα των κύβων, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της με το 2:
2*(Α^3+Β^3)=(Α+Β)*[2*(Α^2+Β^2)-2ΑΒ]
Τώρα, αντικαθιστούμε το 2𝐴𝐵 από την πρώτη σχέση:
2*(Α^3+Β^3)=(Α+Β)*[2*(Α^2+Β^2)-((Α+Β)^2-(Α^2+Β^2))]
3. Απλοποίηση των όρων
Ανοίγουμε την παρένθεση μέσα στην αγκύλη αλλάζοντας τα πρόσημα:
2*(Α^3+Β^3)=( Α+Β)*[2*(Α^2+Β^2)-(Α+Β)^2+(Α^2+Β^2)] === 2*(Α^3+Β^3)=( Α+Β)*[3*(Α^2+Β^2)-(Α+Β)^2] === (Α^3+Β^3)=( Α+Β)*[3*(Α^2+Β^2)-(Α+Β)^2]/2