📜 Η ιστορία
Από το 2012, όταν ο Shinichi Mochizuki δημοσίευσε την εργασία του (σε τέσσερα papers) ισχυριζόμενος ότι απέδειξε την εικασία ABC, έχουν ειπωθεί πολλά τόσο για την ίδια την εικασία όσο και για την υποτιθέμενη απόδειξη. Ο σκεπτικισμός κυριαρχούσε στην μαθηματική κοινότητα και ελάχιστοι τόλμησαν να εισχωρήσουν στο έργο του Mochizuki.
Τώρα, οι Peter Scholze και Jakob Stix εντόπισαν πρόβλημα στην απόδειξη το οποίο, τουλάχιστον μέχρι στιγμής, ο Mochizuki δεν έχει καταφέρει/θελήσει/μπορέσει να διορθώσει.
⚖️ Η εικασία ABC
Η εικασία ABC θεωρείται το σημαντικότερο άλυτο πρόβλημα της θεωρίας αριθμών. Διατυπώνεται ως εξής:
Εικασία ABC: Για κάθε \( \varepsilon > 0 \) υπάρχει σταθερά \( K_\varepsilon \) τέτοια ώστε για κάθε τριάδα \( a,b,c \) σχετικά πρώτων αριθμών με \( a + b = c \) να ισχύει
\( c < K_\varepsilon \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon} \).
Εκτός από τη σημασία της καθ’ εαυτήν, από την εικασία ABC προκύπτουν σημαντικά αποτελέσματα (όπως η εικασία Erdős–Woods, η Fermat–Catalan κ.ά.).
🔍 Το πρόβλημα στην απόδειξη
Η υποτιθέμενη απόδειξη του Mochizuki (Inter-universal Teichmüller Theory) βασιζόταν σε εντελώς νέες μαθηματικές έννοιες που δημιούργησε ο ίδιος, καθιστώντας την εξαιρετικά δύσκολη στην επαλήθευση. Επιπλέον, ο ίδιος ο Mochizuki παρέμενε σχετικά κλειστός στη συνεργασία.
Οι Scholze και Stix εντόπισαν πρόβλημα σε ένα κρίσιμο πόρισμα (Corollary 3.12) του τρίτου paper. Ενώ ο Mochizuki το θεωρούσε «τετριμμένο», οι δύο μαθηματικοί βρήκαν μια απλοποίηση που δεν προκύπτει από προηγούμενα αποτελέσματα. Αυτό καθιστά άκυρη την απόδειξη του πορίσματος και, κατ’ επέκταση, ολόκληρη την απόδειξη της εικασίας.
📌 Συμπέρασμα
Η εικασία ABC παραμένει εικασία. Το έργο του Mochizuki δεν μπορεί να θεωρηθεί έγκυρο όσο η απόδειξη του συγκεκριμένου πορίσματος δεν δικαιολογηθεί πλήρως. Μέχρι σήμερα αυτό δεν έχει συμβεί.
Η ιστορία της απόδειξης του Mochizuki κλείνει (τουλάχιστον προς το παρόν), αλλά η ιστορία της ίδιας της εικασίας ABC συνεχίζεται.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου