🇷🇴 Θέματα Μαθηματικών από το Ρουμανικό Bacalaureat 2010 — Μια ματιά στις εξετάσεις μιας άλλης χώρας

🇷🇴 Θέματα Μαθηματικών από το Ρουμανικό Bacalaureat 2010 — Τρία αυθεντικά διαγωνίσματα

Πώς εξετάζονταν τα Μαθηματικά στο Ρουμανικό Bacalaureat το 2010;

Στην ανάρτηση αυτή συγκεντρώνουμε τρία αυθεντικά διαγωνίσματα από τις εθνικές απολυτήριες εξετάσεις της Ρουμανίας, μεταφρασμένα στα ελληνικά και χωρίς λύσεις.

Τα τρία διαγωνίσματα έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον επειδή απευθύνονται σε διαφορετικές εκπαιδευτικές κατευθύνσεις. Έτσι μπορούμε να δούμε όχι μόνο το επίπεδο των ερωτημάτων, αλλά και πόσο διαφορετική είναι η εξεταζόμενη μαθηματική ύλη ανάλογα με το προφίλ των μαθητών.

📝 Κοινή δομή των εξετάσεων

Τα θέματα είναι υποχρεωτικά, δίνονται 10 μονάδες εξ αρχής και ο πραγματικός χρόνος εξέτασης είναι 3 ώρες. Κάθε διαγώνισμα αποτελείται από τρία κύρια θέματα των 30 μονάδων.

📘 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α — Παιδαγωγικό προφίλ

Το πρώτο διαγώνισμα προέρχεται από την επαγγελματική κατεύθυνση παιδαγωγικού προφίλ, ειδικότητα δασκάλων–παιδαγωγών.

ΘΕΜΑ I — 30 μονάδες

1. [5 μονάδες] Να υπολογίσετε:

\[ \log_{2}\sqrt6-\log_{2}\sqrt3. \]

2. [5 μονάδες] Δίνεται η συνάρτηση

\[ f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=x-5. \]

Να υπολογίσετε:

\[ f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdots f(10). \]

3. [5 μονάδες] Να λύσετε στο \(\mathbb R\) την εξίσωση:

\[ 2^{2x+1}-2^{x+1}=24. \]

4. [5 μονάδες] Να υπολογίσετε το πλήθος των υποσυνόλων με δύο στοιχεία του συνόλου

\[ A=\{x\in\mathbb N\mid x\leq8\}. \]

5. [5 μονάδες] Στο σύστημα συντεταγμένων \(xOy\) δίνονται τα σημεία

\[ A(3,4),\qquad B(2,m). \]

Γνωρίζοντας ότι το σημείο \(B\) ανήκει στην ευθεία

\[ y=3x+20, \]

να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος \([AB]\).

6. [5 μονάδες] Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

\[ E(x)=\cos x+\sin2x \]

για \(x=30^\circ\).

ΘΕΜΑ II — 30 μονάδες

Στο σύνολο

\[ M=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R \]

ορίζεται η πράξη

\[ x\circ y=x+y+\sqrt2. \]

α) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι \(x+y\in M\), για κάθε \(x,y\in M\).

β) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι \(x\circ y\in M\), για κάθε \(x,y\in M\).

γ) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε το \(x\in M\) που έχει την ιδιότητα

\[ x\circ(1+\sqrt2)^2=1. \]

δ) [5 μονάδες] Να επαληθεύσετε ότι

\[ \frac1{1+\sqrt2}-\frac1{3+2\sqrt2}\in M. \]

ε) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι η πράξη \(\circ\) είναι προσεταιριστική στο σύνολο \(M\).

στ) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι η πράξη \(\circ\) ορίζει στο \(M\) δομή ομάδας.

ΘΕΜΑ III — 30 μονάδες

Δίνονται οι πίνακες

\[ M= \begin{pmatrix} 2&2\\ -1&-1 \end{pmatrix}, \qquad I_2= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \]

και

\[ A(a)=M+aI_2, \qquad a\in\mathbb R. \]

α) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι

\[ M^2=M. \]

β) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τον πίνακα \(A(2010)\).

γ) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε το \(a\in\mathbb R\), ώστε

\[ \det(A(a))=2. \]

δ) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι

\[ A^{-1}(1)= \frac12 \begin{pmatrix} 0&-2\\ 1&3 \end{pmatrix}. \]

ε) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι, για κάθε \(a\in\mathbb Z\), ο πίνακας

\[ A(a)+\big(A(a)\big)^t \]

είναι αντιστρέψιμος, όπου \(\big(A(a)\big)^t\) είναι ο μεταθετός πίνακας του \(A(a)\).

στ) [5 μονάδες] Να λύσετε στο \(M_2(\mathbb R)\) την εξίσωση

\[ X\cdot A(1)= \begin{pmatrix} 1&2\\ 2&6 \end{pmatrix}. \]

---

📕 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β — Θεωρητική / Τεχνολογική κατεύθυνση

Στο δεύτερο διαγώνισμα η ύλη εκτείνεται από βασική Άλγεβρα και Γεωμετρία μέχρι πίνακες, πολυώνυμα στο \(\mathbb Z_3[X]\) και Μαθηματική Ανάλυση.

ΘΕΜΑ I — 30 μονάδες

1. [5 μονάδες] Να υπολογίσετε:

\[ \log_2\frac18+\sqrt[3]{27}. \]

2. [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής που αντιστοιχεί στη συνάρτηση

\[ f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=x^2-2x+3. \]

3. [5 μονάδες] Να λύσετε στο \(\mathbb R\) την εξίσωση

\[ 2-3^{x^2-1}=1. \]

4. [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε πόσοι τριψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία μπορούν να σχηματιστούν με τα στοιχεία του συνόλου

\[ \{1,2,3,4\}. \]

5. [5 μονάδες] Δίνονται τα διανύσματα

\[ \vec v_1=2\vec i-\vec j, \qquad \vec v_2=\vec i+3\vec j. \]

Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος

\[ \vec w=2\vec v_1-\vec v_2. \]

6. [5 μονάδες] Σε τρίγωνο \(ABC\) δίνονται

\[ AB=3,\qquad AC=4. \]

Να προσδιορίσετε το μήκος της διαμέσου που αντιστοιχεί στην πλευρά \(AB\).

ΘΕΜΑ II — 30 μονάδες

1. Δίνεται ο πίνακας

\[ A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}. \]

α) [5 μονάδες] Να υπολογίσετε \(A^2-A\).

β) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τον αντίστροφο πίνακα \(A^{-1}\).

γ) [5 μονάδες] Να λύσετε την εξίσωση

\[ A\cdot X= \begin{pmatrix} 2010&2010\\ 2009&2010 \end{pmatrix}, \qquad X\in M_2(\mathbb R). \]

2. Δίνονται τα πολυώνυμα

\[ f,g\in\mathbb Z_3[X], \qquad f=X^2+X, \qquad g=X^2+2X+a, \]

όπου \(a\in\mathbb Z_3\).

α) [5 μονάδες] Να υπολογίσετε

\[ f(\hat0)+f(\hat1). \]

β) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τις ρίζες του πολυωνύμου \(f\).

γ) [5 μονάδες] Να αποδείξετε ότι

\[ f(\hat0)+f(\hat1)+f(\hat2) = g(\hat0)+g(\hat1)+g(\hat2), \]

για κάθε \(a\in\mathbb Z_3\).

ΘΕΜΑ III — 30 μονάδες

1. Δίνεται η συνάρτηση

\[ f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=x^2e^x. \]

α) [5 μονάδες] Να υπολογίσετε την παράγωγο \(f'(x)\).

β) [5 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η \(f\) είναι φθίνουσα στο διάστημα

\[ [-2,0]. \]

γ) [5 μονάδες] Να αποδείξετε ότι

\[ 0\leq f(x)+f(x^2)\leq\frac{e^2+1}{e}, \qquad x\in[-1,0]. \]

2. Δίνεται η συνάρτηση

\[ f:\mathbb R^*\rightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=x+\frac3x. \]

α) [5 μονάδες] Να υπολογίσετε

\[ \int_1^3 \left( f(x)-\frac1x \right)\,dx. \]

β) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τον όγκο του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα \(Ox\) του γραφήματος της συνάρτησης

\[ g:[1,2]\rightarrow\mathbb R, \qquad g(x)=f(x). \]

γ) [5 μονάδες] Να υπολογίσετε

\[ \int_1^e f(x)\ln x\,dx. \]

---

📗 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ — Μαθηματικά–Πληροφορική (M1)

Το τρίτο διαγώνισμα την κατεύθυνση Μαθηματικά–Πληροφορική, καθώς και το αντίστοιχο στρατιωτικό επαγγελματικό προφίλ.

ΘΕΜΑ I — 30 μονάδες

1. [5 μονάδες] Να υπολογίσετε:

\[ \big((1-i)(i-1)\big)^4. \]

2. [5 μονάδες] Να δείξετε ότι η συνάρτηση

\[ f:(-3,3)\rightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=\ln\frac{3-x}{3+x} \]

είναι περιττή.

3. [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης

\[ x^2+2x-8<0 .="" div="">

4. [5 μονάδες] Πόσα στοιχεία του συνόλου

\[ A=\{1,2,3,\ldots,100\} \]

είναι διαιρετά με \(4\) ή με \(5\);

5. [5 μονάδες] Στο σύστημα συντεταγμένων \(xOy\) δίνονται τα σημεία

\[ M(1,-2),\qquad N(-3,-1),\qquad P(-1,2). \]

Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου \(Q\), ώστε το \(MNPQ\) να είναι παραλληλόγραμμο.

6. [5 μονάδες] Στο τρίγωνο \(ABC\) έχουμε

\[ AB=6,\qquad AC=3,\qquad BC=5. \]

Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους \([AD]\).

ΘΕΜΑ II — 30 μονάδες

1. Δίνεται το σύστημα

\[ \begin{cases} x-2y-8z=-65\\ 3x+y-3z=22\\ x+y+z=28 \end{cases} \]

όπου \(x,y,z\in\mathbb R\), και ο αντίστοιχος πίνακας

\[ A= \begin{pmatrix} 1&-2&-8\\ 3&1&-3\\ 1&1&1 \end{pmatrix}. \]

α) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι ο βαθμός (rank) του πίνακα \(A\) είναι ίσος με \(2\).

β) [5 μονάδες] Να λύσετε το σύστημα στο \(\mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R\).

γ) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος στο σύνολο

\[ \mathbb N\times\mathbb N\times\mathbb N. \]

2. Δίνεται το σύνολο πινάκων

\[ \mathcal A= \left\{ \begin{pmatrix} a&b\\ -b&a \end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb Z_5 \right\}. \]

α) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου \(\mathcal A\).

β) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας \(M\in\mathcal A\), τέτοιος ώστε

\[ \begin{pmatrix} \hat3&\hat1\\ -\hat1&\hat3 \end{pmatrix} M= \begin{pmatrix} \hat0&\hat0\\ \hat0&\hat0 \end{pmatrix}. \]

γ) [5 μονάδες] Να λύσετε στο σύνολο \(\mathcal A\) την εξίσωση

\[ X^2=I_2. \]

ΘΕΜΑ III — 30 μονάδες

1. Δίνεται η συνάρτηση

\[ f:\mathbb R\setminus\{-1\}\rightarrow\mathbb R, \qquad f(x)=\arctan\frac{x}{x+1}. \]

α) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης της \(f\) προς \(+\infty\).

β) [5 μονάδες] Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης \(f\).

γ) [5 μονάδες] Να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της \(f\).

2. Δίνεται η ακολουθία \((I_n)_{n\geq1}\), όπου

\[ I_n= \int_{n}^{n+1} \frac{2x-1}{x}\,dx. \]

α) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι η ακολουθία \((I_n)_{n\geq1}\) είναι γνησίως αύξουσα.

β) [5 μονάδες] Να δείξετε ότι η ακολουθία \((I_n)_{n\geq1}\) είναι φραγμένη.

γ) [5 μονάδες] Να υπολογίσετε:

\[ \lim_{n\to+\infty}n(2-I_n). \]

🔎 Τρία διαγωνίσματα — τρεις διαφορετικές όψεις των σχολικών Μαθηματικών

Η παράθεση των τριών διαγωνισμάτων δίπλα-δίπλα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Συναντάμε από λογαρίθμους, εκθετικές εξισώσεις, τριγωνομετρία, συνδυαστική και αναλυτική γεωμετρία μέχρι αλγεβρικές δομές, πίνακες, μιγαδικούς αριθμούς και πολυώνυμα πάνω σε πεπερασμένα σώματα.

Στις πιο προχωρημένες κατευθύνσεις εμφανίζονται επίσης παράγωγοι, μονοτονία, ασύμπτωτες, σημεία καμπής, ολοκληρώματα, όγκοι στερεών εκ περιστροφής και ακολουθίες.

Έχουμε έτσι μια αρκετά αντιπροσωπευτική εικόνα του εύρους και της διαφοροποίησης των Μαθηματικών στο Ρουμανικό Bacalaureat του 2010, ανάλογα με την κατεύθυνση σπουδών.

Πηγή: Examenul de Bacalaureat – 2010, Proba scrisă la Matematică – Proba E c), Varianta 9, Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului, Centrul Național de Evaluare și Examinare.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →