💻 Ο Τύπος BBP – Πώς Υπολογίζουμε Ένα Μακρινό Ψηφίο του π Χωρίς τα Προηγούμενα

Το 1995 οι David Bailey, Peter Borwein και Simon Plouffe ανακάλυψαν έναν εξαιρετικά ασυνήθιστο τύπο για τον αριθμό \(\pi\). Ο τύπος, γνωστός σήμερα ως τύπος Bailey–Borwein–Plouffe ή απλώς BBP, επιτρέπει τον υπολογισμό ενός μακρινού δεκαεξαδικού ψηφίου του \(\pi\), χωρίς να χρειάζεται να έχουν υπολογιστεί όλα τα προηγούμενα.

\[\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\right).\]

Η σχετική εργασία δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Mathematics of Computation το 1997. Το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό δεν είναι μόνο η γρήγορη σύγκλιση της σειράς, αλλά κυρίως η ιδιαίτερη σύνδεσή της με τη βάση \(16\).

Γιατί εμφανίζεται η βάση 16;

Ο παράγοντας \(16^{-k}\) ταιριάζει ακριβώς με τη δεκαεξαδική γραφή. Στη βάση \(16\), ο αριθμός \(\pi\) αρχίζει ως

3.243F6A8885A308D313198A2E…

Κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί ακριβώς σε τέσσερα δυαδικά ψηφία. Επομένως, η ίδια μέθοδος παρέχει πρόσβαση και σε δυαδικά ψηφία του \(\pi\), σε ομάδες των τεσσάρων.

Πώς γίνεται η «παράκαμψη» των προηγούμενων ψηφίων;

Για να φτάσουμε κοντά στη θέση \(n\), εξετάζουμε το κλασματικό μέρος του \(16^n\pi\). Στο τμήμα της σειράς όπου \(k\le n\), οι μεγάλες δυνάμεις του 16 μπορούν να υπολογιστούν κατά μέτρο των παρονομαστών \(8k+j\). Δεν χρειάζεται λοιπόν να αποθηκευτεί ολόκληρη η τεράστια δεκαδική ανάπτυξη του \(\pi\).

Το υπόλοιπο τμήμα, όπου \(k>n\), περιέχει αρνητικές δυνάμεις του 16 και μειώνεται πολύ γρήγορα. Ο συνδυασμός αρθρωτής αριθμητικής και μιας μικρής ουράς της σειράς απομονώνει τα ζητούμενα δεκαεξαδικά ψηφία.

Πόσο γρήγορα συγκλίνει;

Όροι	Προσέγγιση του \(\pi\)	Απόλυτο σφάλμα
1	3,133333333333333	\(8{,}26\times10^{-3}\)
2	3,141422466422466	\(1{,}70\times10^{-4}\)
3	3,141587390346582	\(5{,}26\times10^{-6}\)
4	3,141592457567436	\(1{,}96\times10^{-7}\)
6	3,141592653228088	\(3{,}62\times10^{-10}\)

Απλό πρόγραμμα Python για τη σειρά BBP

from decimal import Decimal, getcontext

def pi_bbp(terms=20, precision=50):
    getcontext().prec = precision
    total = Decimal(0)

    for k in range(terms):
        k = Decimal(k)
        total += (Decimal(1) / (Decimal(16) ** k)) * (
            Decimal(4) / (8*k + 1)
            - Decimal(2) / (8*k + 4)
            - Decimal(1) / (8*k + 5)
            - Decimal(1) / (8*k + 6)
        )
    return total

print(pi_bbp())

Το πρόγραμμα υπολογίζει το \(\pi\) από τη σειρά. Η άμεση εξαγωγή ενός πολύ μακρινού δεκαεξαδικού ψηφίου απαιτεί επιπλέον αρθρωτή ύψωση σε δύναμη· αυτή είναι η ουσιαστική αλγοριθμική καινοτομία της μεθόδου BBP.

Το πραγματικά παράξενο:
ο τύπος δεν υπολογίζει απλώς γρήγορα το \(\pi\)· μας επιτρέπει να «πηδήξουμε» σε μια μακρινή θέση της δεκαεξαδικής του ανάπτυξης.

Για κοινοποίηση: Μπορούμε να βρούμε ένα μακρινό ψηφίο του \(\pi\) χωρίς να γνωρίζουμε όλα όσα προηγούνται; Ο τύπος BBP κάνει ακριβώς αυτό στη βάση 16.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →