Ας πάρουμε ένα κομμάτι σπάγκου. Στο πρώτο μισό λεπτό, σχηματίζουμε μαζί του ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Στο επόμενο τέταρτο του λεπτού, το ξαναχρησιμοποιούμε για να σχηματίσουμε ένα τετράγωνο.
Στο επόμενο όγδοο, ένα κανονικό πεντάγωνο — και ούτω καθεξής, επ' άπειρον, με κάθε βήμα να διαρκεί το μισό του προηγούμενου. Στο τέλος του λεπτού, τι σχήμα θα έχει πάρει τελικά ο σπάγκος μας;
Η φαινομενικά προφανής απάντηση είναι: κύκλος. Πράγματι, μπορούμε να το επαληθεύσουμε μαθηματικά — για ένα κανονικό n-γωνο σταθερής περιμέτρου \(L\), το απόστημα (η απόσταση από το κέντρο μέχρι κάθε πλευρά) δίνεται από τη σχέση:
Καθώς το \(n\to\infty\), το \(n\tan(\pi/n)\to\pi\), άρα το απόστημα συγκλίνει ακριβώς στην ακτίνα ενός κύκλου περιφέρειας \(L\):
Ο μαθηματικός συλλογισμός, λοιπόν, είναι αδιαμφισβήτητος. Το ερώτημα του φιλοσόφου José Amado Benardete, στο βιβλίο του Infinity: An Essay in Metaphysics (1964), είναι διαφορετικό: πόσο νοηματικά κατανοητή είναι στην πραγματικότητα αυτή η φυσική διαδικασία;
Κάθε πολύγωνο στην άπειρη ακολουθία μας έχει, χωρίς εξαίρεση, έναν πεπερασμένο αριθμό πλευρών. Ο κύκλος, όμως, δεν είναι απλώς ένα πολύγωνο με «πάρα πολλές» πλευρές — είναι ένα ποιοτικά διαφορετικό αντικείμενο.
Υπάρχει, όπως το θέτει ο ίδιος ο Benardete, ένα «σοβαρό εννοιολογικό χάσμα» ανάμεσα στον κύκλο, ως οριακή περίπτωση, και σε κάθε μεμονωμένο πολύγωνο της σειράς — κανένα βήμα της διαδικασίας δεν μας οδηγεί ποτέ πραγματικά εκεί.
Το παράδοξο του σπάγκου είναι μόνο ένα από τα λεγόμενα «υπερκαθήκοντα» (supertasks) που πρότεινε ο Benardete στο ίδιο βιβλίο — άπειρες ακολουθίες ενεργειών, ολοκληρωμένες σε πεπερασμένο χρόνο.
Το πιο διάσημο έργο του σε αυτόν τον χώρο, γνωστό ως «Παράδοξο των Θεών», ενέπνευσε αργότερα το σύγχρονο «παράδοξο του Θεριστή» (Grim Reaper paradox), και παραμένει αντικείμενο ενεργούς φιλοσοφικής συζήτησης μέχρι σήμερα, δίπλα σε κλασικά παράδοξα όπως τα παράδοξα του Ζήνωνα και η λάμπα του Thomson.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου