📐 Άθροισμα ή γινόμενο; Μια όμορφη ταυτότητα στις γωνίες ενός τριγώνου

📐 Άθροισμα ή γινόμενο; Μια μικρή έκπληξη σε ένα τρίγωνο

Σε μια άσκηση μάς δόθηκε το άθροισμα των εφαπτομένων των τριών γωνιών ενός τριγώνου και ζητήθηκε να βρούμε το γινόμενό τους.

Οι μαθητές άρχισαν να ξύνουν το κεφάλι τους. 🤔

Πώς είναι δυνατόν να υπολογίσουμε ένα γινόμενο τριών αριθμών γνωρίζοντας μόνο το άθροισμά τους;

🧠 Το πρόβλημα

Έστω \(A,B,C\) οι γωνίες ενός τριγώνου και υποθέτουμε ότι οι εφαπτομένες τους ορίζονται.

Αν γνωρίζουμε ότι \[ \tan A+\tan B+\tan C=k, \] μπορούμε να προσδιορίσουμε το \[ \tan A\,\tan B\,\tan C\; ; \]

💡 Η πληροφορία φαίνεται ανεπαρκής. Είναι όμως;

🔍 Εμφάνιση λύσης

Το κλειδί βρίσκεται σε μια πληροφορία που δεν αναφέρεται ρητά στην εκφώνηση, αλλά γνωρίζουμε για κάθε τρίγωνο:

\[ A+B+C=180^\circ. \]

Επομένως

\[ \tan(A+B+C)=\tan180^\circ=0. \]

Χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο:

\[ \tan(A+B+C)= \frac{ \tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C }{ 1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A }. \]

Αφού το αριστερό μέλος είναι \(0\), ο αριθμητής πρέπει να μηδενίζεται:

\[ \tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C=0. \]

Άρα:

\[ \boxed{ \tan A+\tan B+\tan C = \tan A\tan B\tan C } \]

🎯 Επομένως, αν μας δίνεται ότι

\[ \tan A+\tan B+\tan C=k, \]

τότε χωρίς κανέναν άλλο υπολογισμό γνωρίζουμε αμέσως ότι

\[ \boxed{\tan A\tan B\tan C=k}. \]

✨ Αυτό είναι το μικρό τέχνασμα της άσκησης: το άθροισμα και το γινόμενο, που αρχικά φαίνονται εντελώς ανεξάρτητα, είναι αναγκαστικά ίσα λόγω της σχέσης \(A+B+C=180^\circ\).

⚠️ Και τι γίνεται με τα ορθογώνια τρίγωνα;

Εδώ βρίσκεται μια σημαντική λεπτομέρεια.

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, μία από τις γωνίες του —ας πούμε η \(C\)— είναι

\[ C=90^\circ. \]

Όμως

\[ \tan90^\circ \]

δεν ορίζεται.

Επομένως ούτε το άθροισμα

\[ \tan A+\tan B+\tan C \]

ούτε το γινόμενο

\[ \tan A\tan B\tan C \]

είναι πραγματικοί αριθμοί στην περίπτωση ενός ορθογωνίου τριγώνου.

📌 Άρα η ταυτότητα ισχύει για τρίγωνα στα οποία καμία γωνία δεν είναι \(90^\circ\).

🔎 Υπάρχει όμως κάτι ενδιαφέρον στο όριο

Ας αφήσουμε τη γωνία \(C\) να πλησιάζει τις \(90^\circ\), χωρίς να γίνεται ακριβώς ορθή.

Τότε η ποσότητα

\[ |\tan C| \]

γίνεται απεριόριστα μεγάλη.

Και επειδή για κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο εξακολουθεί να ισχύει

\[ \tan A+\tan B+\tan C = \tan A\tan B\tan C, \]

οι δύο εκφράσεις παραμένουν ίσες καθώς πλησιάζουμε στην ορθογώνια περίπτωση, παρόλο που στην ίδια την ορθογώνια περίπτωση καμία από τις δύο δεν ορίζεται.

💡 Μια χρήσιμη υπενθύμιση

Μια μαθηματική ταυτότητα δεν αρκεί να είναι αλγεβρικά σωστή. Πρέπει πάντα να ελέγχουμε και το πεδίο στο οποίο ορίζονται οι παραστάσεις της. Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι εδώ το τέλειο παράδειγμα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →