📐 «Απλώς μεγαλώνεις το τρίγωνο!» — Μια απίθανη ιστορία για το ημίτονο και το συνημίτονο

Ο γεωμέτρης Bernie Shiffman, καθηγητής στο Johns Hopkins University, βρέθηκε κάποτε σε μια εκδήλωση στο σχολείο του γιου του. Όπως και οι υπόλοιποι γονείς, περνούσε από αίθουσα σε αίθουσα ακούγοντας τις παρουσιάσεις των καθηγητών.

Όταν έφτασε στην αίθουσα των Μαθηματικών, κάτι στον πίνακα τράβηξε αμέσως την προσοχή του.

Η καθηγήτρια εξηγούσε Τριγωνομετρία χρησιμοποιώντας ορθογώνια τρίγωνα. Μόνο που σε κάποια από αυτά εμφανίζονταν τιμές όπως:

\[ \sin\theta=3 \qquad\text{και}\qquad \cos\theta=4{,}5. \]

Μετά την παρουσίαση, ο Shiffman την πλησίασε διακριτικά. Δεν της είπε ότι ήταν μαθηματικός.

«Ξέρετε, έχει περάσει πολύς καιρός από τότε που έκανα Τριγωνομετρία, αλλά νόμιζα ότι το ημίτονο και το συνημίτονο παίρνουν τιμές μεταξύ −1 και 1.»

Η απάντηση της καθηγήτριας ήταν απρόσμενη:

«Όχι. Απλώς μεγαλώνεις το τρίγωνο.»

🔍 Πού βρίσκεται το λάθος;

Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία είναι \(\theta\), τότε:

\[ \sin\theta= \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}} {\text{υποτείνουσα}}, \qquad \cos\theta= \frac{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}} {\text{υποτείνουσα}}. \]

Αν μεγαλώσουμε ολόκληρο το τρίγωνο κατά έναν παράγοντα \(k\), τότε όλες οι πλευρές του πολλαπλασιάζονται με \(k\). Επομένως:

\[ \frac{k\,a}{k\,c}=\frac{a}{c}. \]

Οι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών παραμένουν ακριβώς οι ίδιοι. Άρα παραμένουν ίδια και το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας.

📌 Το μέγεθος του τριγώνου δεν έχει σημασία.

Τα \(\sin\theta\) και \(\cos\theta\) εξαρτώνται από τη γωνία, όχι από το πόσο μεγάλο σχεδιάσαμε το τρίγωνο.

Επιπλέον, για κάθε πραγματική γωνία \(\theta\):

\[ -1\leq\sin\theta\leq1, \qquad -1\leq\cos\theta\leq1. \]

Άρα τιμές όπως

\[ \sin\theta=3 \qquad\text{ή}\qquad \cos\theta=4{,}5 \]

είναι αδύνατες για πραγματική γωνία — όσο μεγάλο κι αν κάνουμε το τρίγωνο.

📚 Πηγή της ιστορίας: Steven G. Krantz, Mathematical Apocrypha Redux.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →