EisatoponAI: 🥚 Το μαθηματικό αυγό — Μπορείτε να βρείτε τον όγκο του;

🥚 Το μαθηματικό αυγό — Ποιος είναι ο όγκος του;

Μια εξίσωση μπορεί πράγματι να σχεδιάσει ένα... αυγό.

Θεωρούμε την καμπύλη

\[ 4x^2=y(1-y)(2-y)^2. \]

Το κλειστό τμήμα της καμπύλης, για \(0\le y\le1\), έχει το χαρακτηριστικό ωοειδές σχήμα που φαίνεται στην εικόνα.

Τώρα περιστρέφουμε ολόκληρη αυτή την περιοχή γύρω από τον άξονα \(y\).

🥚 Η πρόκληση

Η περιστροφή δημιουργεί ένα τρισδιάστατο «μαθηματικό αυγό».

Ποιος είναι ο όγκος του;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Λύστε πρώτα την εξίσωση ως προς \(x^2\):

\[ x^2=\frac14\,y(1-y)(2-y)^2. \]

Σε ύψος \(y\), η περιστροφή γύρω από τον άξονα \(y\) δημιουργεί έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας \(|x|\).

Άρα το εμβαδόν της εγκάρσιας διατομής είναι

\[ A(y)=\pi x^2. \]

Το μόνο που απομένει είναι να εντοπίσετε σωστά τα άκρα του κλειστού τμήματος του «αυγού» και να χρησιμοποιήσετε

\[ V=\int A(y)\,dy. \]

Μετά την αντικατάσταση, το ολοκλήρωμα γίνεται απλώς ολοκλήρωμα ενός πολυωνύμου.