🕵️ Τα «ψευδή θεωρήματα» του Αρχιμήδη — Η Μαθηματική Παγίδα προς τους Σφετεριστές

Ο Αρχιμήδης (περ. 287–212 π.Χ.) θεωρείται ο κορυφαίος μαθηματικός και επιστήμονας της αρχαιότητας. Συχνά το όνομά του τοποθετείται δίπλα σε εκείνα του Isaac Newton και του Carl Friedrich Gauss· μια τιμητική, ασφαλώς, αξιολόγηση και όχι κάποιο αντικειμενικό μαθηματικό αξίωμα.

Κι όμως, ο μεγάλος γεωμέτρης έστειλε κάποτε δύο ψευδείς μαθηματικές προτάσεις! Δεν επρόκειτο για σφάλμα ούτε για δημοσίευση πλαστών αποδείξεων. Ήταν μια συνειδητή παγίδα προς όσους παρουσίαζαν ως δικές τους τις ανακαλύψεις του.

Η παγίδα προς την Αλεξάνδρεια

Στον πρόλογο του έργου Περὶ ἑλίκων, ο Αρχιμήδης εξηγεί ότι συνήθιζε να στέλνει στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας τις διατυπώσεις νέων θεωρημάτων του, χωρίς να συνοδεύονται από αποδείξεις. Ορισμένοι, όμως, ισχυρίζονταν κατόπιν ότι τα είχαν ανακαλύψει οι ίδιοι.

Σε μια τέτοια αποστολή παρεμβάλλει δύο λανθασμένες προτάσεις. Όποιος έσπευδε να τις οικειοποιηθεί, χωρίς να μπορεί να τις αποδείξει, θα φανέρωνε μόνος του ότι προσποιούνταν πως είχε ανακαλύψει κάτι αδύνατο.

«…ώστε εκείνοι που ισχυρίζονται ότι ανακαλύπτουν τα πάντα, αλλά δεν παρουσιάζουν αποδείξεις, να ελεγχθούν ότι προσποιήθηκαν πως ανακάλυψαν το αδύνατο.»

Ο «Ψαμμίτης» και η άμμος του Σύμπαντος

Σε ένα άλλο περίφημο έργο του, τον Ψαμμίτη (The Sand Reckoner), ο Αρχιμήδης αντιμετώπισε την αντίληψη ότι οι κόκκοι της άμμου είναι αμέτρητοι. Κατασκεύασε ένα σύστημα γραφής τεράστιων αριθμών και έδειξε ότι ακόμη και η ποσότητα άμμου που θα γέμιζε το Σύμπαν, όπως μπορούσε τότε να νοηθεί, είχε ένα πεπερασμένο άνω φράγμα:

\(8\times10^{63}\)

Προσοχή στην ερμηνεία: ο αριθμός αυτός δεν αποτελεί σύγχρονη εκτίμηση για το πραγματικό, παρατηρήσιμο Σύμπαν. Είναι ένα σκόπιμα ασφαλές άνω όριο, βασισμένο σε αρχαίες κοσμολογικές παραδοχές, που αποδεικνύει ότι ο Αρχιμήδης μπορούσε να ονομάσει και να χειριστεί αριθμούς ασύλληπτου μεγέθους.

Από την άμμο στα βόδια του Ήλιου

Η τόλμη του απέναντι στους τεράστιους αριθμούς εμφανίζεται και στο περίφημο Πρόβλημα των βοδιών. Η πλήρης εκδοχή του οδηγεί σε έναν αριθμό με περισσότερα από διακόσιες χιλιάδες ψηφία — μια εντυπωσιακή υπενθύμιση ότι ο Αρχιμήδης δεν ήταν μόνο απαράμιλλος γεωμέτρης, αλλά και πρωτοπόρος της μαθηματικής σκέψης για το τεράστιο.

Τι ακριβώς επιβεβαιώνεται από τις πηγές;

Η αφήγηση για τις δύο ψευδείς προτάσεις προέρχεται από τον ίδιο τον Αρχιμήδη, στον πρόλογο του Περὶ ἑλίκων. Δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα ποιοι ακριβώς οικειοποιήθηκαν τα αποτελέσματά του, γι’ αυτό είναι ασφαλέστερο να μιλάμε γενικά για ορισμένους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας.

Στον Ψαμμίτη, το \(8\times10^{63}\) παρουσιάζεται ως αριθμός αρκετά μεγάλος ώστε να υπερβαίνει το πλήθος των κόκκων άμμου που θα χωρούσαν στο Σύμπαν του αριστάρχειου μοντέλου, όπως το διεύρυνε και το ερμήνευσε ο Αρχιμήδης.

Το ουσιαστικό δίδαγμα: στα μαθηματικά η διατύπωση ενός εντυπωσιακού αποτελέσματος δεν αρκεί. Αυτό που χωρίζει τη γνώση από την προσποίηση είναι η απόδειξη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →