🪱 Το Σκουλήκι και ο Λαστιχένιος Ιμάντας
Ένα μικρό σκουλήκι ξεκινά από το ένα άκρο ενός λαστιχένιου ιμάντα μήκους 1 μέτρου και προσπαθεί να φτάσει στο άλλο.
Το σκουλήκι κινείται με σταθερή ταχύτητα:
\[
1\text{ cm ανά λεπτό}.
\]
Υπάρχει όμως ένα μικρό... πρόβλημα.
Στο τέλος κάθε λεπτού, ολόκληρος ο ιμάντας τεντώνεται
ακαριαία και ομοιόμορφα, έτσι ώστε το μήκος του να αυξάνεται κατά
\[
1\text{ μέτρο}.
\]
Το σκουλήκι κρατιέται πάνω στον ιμάντα και μετακινείται μαζί με το
σημείο του ιμάντα στο οποίο βρίσκεται.
Έτσι, αρχικά ο ιμάντας έχει μήκος \(1\) m. Έπειτα γίνεται \(2\) m, μετά \(3\) m, \(4\) m, \(5\) m και συνεχίζει να μεγαλώνει χωρίς όριο.
Το σκουλήκι, όμως, εξακολουθεί να προχωρά μόλις 1 εκατοστό κάθε λεπτό.
🤔 Το ερώτημα
Θα καταφέρει ποτέ το σκουλήκι να φτάσει στο άλλο άκρο του ιμάντα;
Ή μήπως το άκρο θα απομακρύνεται για πάντα πιο γρήγορα απ' όσο μπορεί να προχωρήσει;
Θα καταφέρει ποτέ το σκουλήκι να φτάσει στο άλλο άκρο του ιμάντα;
Ή μήπως το άκρο θα απομακρύνεται για πάντα πιο γρήγορα απ' όσο μπορεί να προχωρήσει;
Πριν απαντήσετε, προσέξτε μία λεπτομέρεια:
ο ιμάντας δεν επιμηκύνεται μόνο μπροστά από το σκουλήκι —
τεντώνεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος του.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
2 σχόλια:
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, το σκουλήκι θα καταφέρει τελικά να φτάσει στο άλλο άκρο του ιμάντα, αν και θα χρειαστεί ένα εξαιρετικά μεγάλο χρονικό διάστημα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα εξηγείται επειδή το σκουλήκι δεν καλύπτει απλώς μια απόσταση σε εκατοστά, αλλά κερδίζει ένα ποσοστό (κλάσμα) του συνολικού μήκους του ιμάντα κάθε λεπτό. Όταν ο ιμάντας τεντώνεται ομοιόμορφα, το ποσοστό της διαδρομής που έχει ήδη διανύσει το σκουλήκι παραμένει ακριβώς το ίδιο.
Η Μαθηματική Εξήγηση
Ας δούμε τι συμβαίνει λεπτό προς λεπτό, εκφράζοντας την κίνηση του σκουληκιού ως κλάσμα του συνολικού μήκους του ιμάντα:
1. 1ο λεπτό: Ο ιμάντας έχει μήκος 1m=100cm. Το σκουλήκι διανύει 1cm). Το κλάσμα της διαδρομής που καλύπτει είναι 1/100. Στο τέλος του λεπτού ο ιμάντας τεντώνεται στα 2m, αλλά το σκουλήκι εξακολουθεί να βρίσκεται στο 1/100 της συνολικής διαδρομής.
2. 2ο λεπτό: Ο ιμάντας έχει τώρα μήκος 2m=200cm. Το σκουλήκι διανύει πάλι 1cm, δηλαδή προσθέτει ακόμα 1/200 της διαδρομής.
3. 3ο λεπτό: Ο ιμάντας έχει μήκος3m=300cm. Το σκουλήκι προσθέτει άλλα 1/300 της διαδρομής.
Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία, το συνολικό ποσοστό της διαδρομής που έχει καλύψει το σκουλήκι μετά από (n) λεπτά είναι το άθροισμα:
Sn=1/100+1/200+1/300+...+1/100n=(1/100)*(1+1/2+1/3+...+1/n)
Η Αρμονική Σειρά
Η έκφραση μέσα στην παρένθεση είναι η περίφημη Αρμονική Σειρά. Στα μαθηματικά είναι αποδεδειγμένο ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο άπειρο. Αυτό σημαίνει ότι αν προσθέτουμε όρους για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα (n), το άθροισμα μέσα στην παρένθεση μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε.
Για να τερματίσει το σκουλήκι, το συνολικό κλάσμα (Sn) πρέπει να γίνει ίσο ή μεγαλύτερο από (1) (δηλαδή να καλύψει το 100% της διαδρομής):
(1/100)*(1+1/2+1/3+...+1/n)≥1 === (1*(1+1/2+1/3+...+1/n)≥1*100 === 1*(1+1/2+1/3+...+1/n≥100
Επειδή η σειρά μεγαλώνει χωρίς όριο, είναι μαθηματικά βέβαιο ότι θα βρεθεί ένας αριθμός λεπτών (n) που θα ικανοποιεί αυτή την ανισότητα.
Πόσος χρόνος θα χρειαστεί;
Αν και η απάντηση είναι καταφατική, ο χρόνος που απαιτείται είναι αστρονομικός. Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του Euler για την αρμονική σειρά (ln(n)+γ ≈100), προκύπτει ότι το σκουλήκι θα φτάσει στο τέρμα μετά από περίπου e^100 λεπτά.
Αυτός ο αριθμός ισούται χονδρικά με 2.68*10^43 λεπτά, ένας χρόνος που ξεπερνά κατά πολύ την ηλικία του σύμπαντος! Ωστόσο, σε θεωρητικό και μαθηματικό επίπεδο, το σκουλήκι κερδίζει τη μάχη με τον ιμάντα.