EisatoponAI: 🍷Πόσο πρέπει να γεμίσει το κωνικό ποτήρι; Δύο διαφορετικά «μισά»

🍷 Πόσο πρέπει να γεμίσει το κωνικό ποτήρι;

Σε ένα τσαγερί τα ποτήρια έχουν σχήμα κώνου και το εσωτερικό τους ύψος είναι

\[ H=10\text{ cm}. \]

Μια μέρα ζητάμε από τον σερβιτόρο να γεμίσει το ποτήρι έτσι ώστε η ποσότητα του τσαγιού να είναι ακριβώς η μισή χωρητικότητα του ποτηριού.

Μια άλλη μέρα το αίτημα αλλάζει: θέλουμε το τσάι να βρέχει ακριβώς τη μισή εσωτερική πλευρική επιφάνεια του κώνου.

❓ Πρόβλημα

Σε ποιο ύψος πρέπει να βρίσκεται η στάθμη του τσαγιού:

1. όταν το τσάι καταλαμβάνει το μισό του όγκου του ποτηριού;

2. όταν βρέχει τη μισή εσωτερική πλευρική επιφάνεια του ποτηριού;

Είναι άραγε τα δύο ύψη ίδια;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αν \(h\) είναι το ύψος μέχρι το οποίο φτάνει το τσάι, ο μικρός κώνος του υγρού είναι όμοιος με ολόκληρο τον κώνο.

Θέστε

\[ k=\frac{h}{10}. \]

Όλα τα μήκη του μικρού κώνου μεταβάλλονται με συντελεστή \(k\).

Τώρα θυμηθείτε ότι σε όμοια στερεά:

\[ \frac{V_{\text{μικρού}}}{V_{\text{μεγάλου}}}=k^3, \]

ενώ οι αντίστοιχες επιφάνειες μεταβάλλονται με το τετράγωνο του συντελεστή ομοιότητας:

\[ \frac{E_{\text{μικρού}}}{E_{\text{μεγάλου}}}=k^2. \]

Επομένως, στη μία περίπτωση θέστε \(k^3=\frac12\) και στην άλλη \(k^2=\frac12\). Από εκεί μπορείτε να βρείτε τα δύο ύψη.