🧊 Οι Αριθμοί που Αποκαλύπτουν την Κυβική τους Ρίζα

🧊 Δύο αριθμοί αποκαλύπτουν την κυβική τους ρίζα

\(\sqrt[3]{17576}=1+7+5+7+6=26\)

\(\sqrt[3]{5832}=5+8+3+2=18\)

Οι δύο ισότητες δεν είναι αριθμητικά τεχνάσματα. Οι αριθμοί \(17576\) και \(5832\) είναι τέλειοι κύβοι και η κυβική ρίζα καθενός ισούται ακριβώς με το άθροισμα των ψηφίων του.

Πώς ονομάζονται αυτοί οι αριθμοί;
Υπάρχουν άραγε άλλοι;

Δείτε την απάντηση

Οι αριθμοί Dudeney

Ονομάζονται αριθμοί Dudeney, προς τιμήν του Άγγλου δημιουργού μαθηματικών γρίφων Henry Ernest Dudeney (1857–1930).

Αν συμβολίσουμε με \(S(N)\) το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων του θετικού ακεραίου \(N\), τότε ο ορισμός γράφεται:

\(\displaystyle N=[S(N)]^3\)

Ισοδύναμα, ο \(N\) πρέπει να είναι τέλειος κύβος και να ισχύει

\(\displaystyle \sqrt[3]{N}=S(N)\).

Και οι έξι θετικοί αριθμοί

\(1=1^3\)
\(512=(5+1+2)^3=8^3\)
\(4913=(4+9+1+3)^3=17^3\)
\(5832=(5+8+3+2)^3=18^3\)
\(17576=(1+7+5+7+6)^3=26^3\)
\(19683=(1+9+6+8+3)^3=27^3\)

Δεν υπάρχουν άλλοι θετικοί αριθμοί Dudeney στη δεκαδική γραφή.

Γιατί η αναζήτηση σταματά;

Έστω ότι ο \(N\) έχει \(d\) ψηφία και \(N=s^3\), όπου \(s=S(N)\). Επειδή κάθε ψηφίο είναι το πολύ 9, έχουμε

\(s\leq9d\).

Από την άλλη, ένας \(d\)-ψήφιος αριθμός ικανοποιεί \(N\geq10^{d-1}\), επομένως

\(s=\sqrt[3]{N}\geq10^{(d-1)/3}\).

Για \(d\geq7\), όμως, ήδη \(10^{(d-1)/3}>9d\), άρα οι δύο απαιτήσεις είναι ασυμβίβαστες. Συνεπώς ένας αριθμός Dudeney έχει το πολύ έξι ψηφία. Τότε αρκεί να εξεταστούν οι δυνατές ρίζες \(s\leq54\), και ο έλεγχος δίνει ακριβώς τους έξι αριθμούς της παραπάνω λίστας.

Το εντυπωσιακό στοιχείο: τα ψηφία ενός αριθμού, όταν προστεθούν, επιστρέφουν τη ρίζα που τον δημιούργησε. Είναι ένας μικρός αριθμητικός «βρόχος» ανάμεσα στην αξία του αριθμού και στη δεκαδική γραφή του.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →