Στο σχήμα υπάρχουν τρία τετράγωνα που επικαλύπτονται με έναν μάλλον περίπλοκο τρόπο.
Οι πλευρές τους έχουν μήκη:
Έστω:
Να υπολογίσετε τη διαφορά \[ \boxed{A-R}. \]
Δεν δίνονται γωνίες, διαγώνιοι ή μήκη των τμημάτων που δημιουργούνται από τις τομές.
💡 Μήπως τελικά δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε καμία από τις επικαλύψεις;
🔍 Εμφάνιση λύσης
1️⃣ Τα εμβαδά των τριών τετραγώνων
Τα εμβαδά τους είναι αντίστοιχα:
τετραγωνικά εκατοστά.
2️⃣ Απομονώνουμε το «δύσκολο» κομμάτι
Ας ονομάσουμε \(X\) το εμβαδόν του τμήματος του μικρού τετραγώνου που βρίσκεται μέσα στο μεγάλο τετράγωνο αλλά έξω από το μεσαίο.
Δεν γνωρίζουμε το \(X\) — και, όπως θα δούμε, δεν χρειάζεται να το βρούμε.
Το μεσαίο τετράγωνο βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο μεγάλο και έχει εμβαδόν \(16\).
Άρα από τα \(36\text{ cm}^2\) του μεγάλου τετραγώνου, για να απομείνει η μπλε περιοχή, αφαιρούμε το μεσαίο τετράγωνο και το τμήμα \(X\):
3️⃣ Η κόκκινη περιοχή
Το μικρό τετράγωνο έχει συνολικό εμβαδόν
Το τμήμα του που δεν είναι κόκκινο είναι ακριβώς το ίδιο τμήμα \(X\).
Επομένως:
Το άγνωστο εμβαδόν \(X\) εμφανίζεται τόσο στην μπλε όσο και στην κόκκινη περιοχή. Όταν ζητήσουμε τη διαφορά τους, θα εξαφανιστεί.
4️⃣ Υπολογίζουμε τη διαφορά
Άρα:
✨ Ένας ακόμη πιο σύντομος τρόπος
Στην πραγματικότητα, όλος ο συλλογισμός συμπυκνώνεται σε μία μόνο γραμμή:
Μερικές φορές ένα γεωμετρικό σχήμα φαίνεται να απαιτεί δύσκολους υπολογισμούς εμβαδών και σημείων τομής. Αν όμως το ζητούμενο είναι μια διαφορά εμβαδών, αξίζει πρώτα να αναζητήσουμε τμήματα που εμφανίζονται και στις δύο ποσότητες και επομένως ακυρώνονται.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου