🔄 Η Ανισότητα Αναδιάταξης — Μια υπέροχη ανισότητα

Έστω δύο συλλογές πραγματικών αριθμών, ταξινομημένες σε αύξουσα σειρά:

\[ a_1\le a_2\le\cdots\le a_n \qquad\text{και}\qquad b_1\le b_2\le\cdots\le b_n. \]

Αν αναδιατάξουμε με οποιονδήποτε τρόπο τους αριθμούς \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), ποια αντιστοίχιση με τους \(b_i\) δίνει το μεγαλύτερο άθροισμα γινομένων;

📌 Η Ανισότητα Αναδιάταξης

Για οποιαδήποτε μετάθεση \[ a'_1,a'_2,\ldots,a'_n \] των \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), ισχύει

\[ a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \ge a'_1b_1+a'_2b_2+\cdots+a'_nb_n \]

και

\[ a'_1b_1+a'_2b_2+\cdots+a'_nb_n \ge a_nb_1+a_{n-1}b_2+\cdots+a_1b_n. \]

Με απλά λόγια:

🔺 Μέγιστο: αντιστοιχίζουμε τον μικρότερο με τον μικρότερο, τον επόμενο με τον επόμενο, … και τον μεγαλύτερο με τον μεγαλύτερο.

🔻 Ελάχιστο: κάνουμε ακριβώς το αντίθετο — τον μικρότερο με τον μεγαλύτερο, τον δεύτερο μικρότερο με τον δεύτερο μεγαλύτερο κ.ο.κ.

💡 Γιατί λειτουργεί;

Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι εξαιρετικά απλή. Ας πάρουμε δύο θέσεις \(r<s\) και ας ανταλλάξουμε μόνο τους αντίστοιχους όρους.

Η μεταβολή στο άθροισμα είναι

\[ a_rb_r+a_sb_s-a_sb_r-a_rb_s = (b_s-b_r)(a_s-a_r). \]

Επειδή

\[ a_s\ge a_r \qquad\text{και}\qquad b_s\ge b_r, \]

έχουμε

\[ (b_s-b_r)(a_s-a_r)\ge0. \]

Άρα η τοποθέτηση των αριθμών στην ίδια σειρά δεν μειώνει το άθροισμα. Επαναλαμβάνοντας τέτοιες ανταλλαγές καταλήγουμε στη διάταξη που δίνει το μέγιστο.

✨ Μια όμορφη συνέπεια

Αν εφαρμόσουμε την ανισότητα στην ίδια ακολουθία \(a_1,\ldots,a_n\), παίρνουμε για κάθε μετάθεση \(a'_1,\ldots,a'_n\):

\[ \boxed{ a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2 \ge a_1a'_1+a_2a'_2+\cdots+a_na'_n } \]

Η μεγαλύτερη τιμή προκύπτει όταν κάθε αριθμός αντιστοιχιστεί με τον εαυτό του.

🧠 Η ιδέα σε μία πρόταση:

Μεγάλο με μεγάλο και μικρό με μικρό μεγιστοποιεί το άθροισμα των γινομένων· μεγάλο με μικρό το ελαχιστοποιεί.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →