📝 Μαθηματικές Εξετάσεις στη Ρουμανία – Ένα Ενδιαφέρον Θέμα Ανάλυσης

📝 Μαθηματικές Εξετάσεις στη Ρουμανία – Ένα Ενδιαφέρον Θέμα Ανάλυσης

Ένα ενδιαφέρον θέμα από γραπτή εξέταση Μαθηματικών στη Ρουμανία, για μαθητές θεωρητικής κατεύθυνσης με προσανατολισμό στις φυσικές επιστήμες.

Το θέμα συνδυάζει παραγώγους, όρια, ανισότητες, ολοκληρώματα και στο τέλος τον υπολογισμό όγκου στερεού που προκύπτει από περιστροφή γραφικής παράστασης.

1. Η συνάρτηση \(f(x)=e^x(x^2+x-1)\)

Θεωρούμε τη συνάρτηση

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=e^x(x^2+x-1). \]

α) Να αποδείξετε ότι

\[ f'(x)=e^x(x^2+3x), \qquad x\in\mathbb{R}. \]

β) Να αποδείξετε ότι

\[ \lim_{x\to0} \frac{e^x+f(x)}{f'(x)} = \frac13. \]

γ) Να αποδείξετε ότι

\[ e^{x+3}(x^2+x-1)\leq5, \qquad \text{για κάθε }x\in(-\infty,0]. \]

2. Η συνάρτηση \(f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\)

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}. \]

α) Να αποδείξετε ότι

\[ \int_{3}^{5} \left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)\,dx =8. \]

β) Να αποδείξετε ότι

\[ \int_{1}^{2} \frac{x}{(f(x)-x)^2}\,dx = \frac{\ln3}{4}. \]

γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση

\[ g:[0,2]\to\mathbb{R}, \qquad g(x)=f(x). \]

Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό \(a\), ώστε ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή της γραφικής παράστασης της \(g\) γύρω από τον άξονα \(Ox\) να είναι ίσος με

\[ \frac{a\pi}{3}. \]

✏️ Μια καλή άσκηση επανάληψης στην Ανάλυση:

δύο συναρτήσεις, έξι ερωτήματα και αρκετές διαφορετικές μαθηματικές ιδέες.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →