🔗 Ο Κανόνας της Αλυσίδας: Βρείτε το Κρυμμένο Λάθος στην Απόδειξη

Μαθηματική αυστηρότητα · Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

🔗 Πού Σπάει αυτή η Απόδειξη;

Ο κανόνας της αλυσίδας είναι σωστός — αλλά η φαινομενικά προφανής απόδειξη όχι

📌 Η εκφώνηση

Έστω ότι η \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(a\), η \(g\) είναι παραγωγίσιμη στο \(b\) και \(g(b)=a\). Τότε η σύνθετη συνάρτηση

\[\varphi=f\circ g\]

είναι παραγωγίσιμη στο \(b\) και ισχύει

\[\varphi'(b)=f'(g(b))g'(b)=f'(a)g'(b).\]

Ερώτημα: Ποιο είναι το λάθος στην ακόλουθη συνηθισμένη «απόδειξη»;

⚠️ Η ύποπτη απόδειξη

\[ \begin{aligned} \varphi'(b) &=\lim_{h\to0}\frac{f(g(b+h))-f(g(b))}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to0} \left[ \frac{f(g(b+h))-f(g(b))}{g(b+h)-g(b)} \right] \left[ \frac{g(b+h)-g(b)}{h} \right]\\[4pt] &=f'(g(b))g'(b). \end{aligned} \]

Η κατάληξη είναι σωστή. Είναι όμως νόμιμο κάθε ενδιάμεσο βήμα;

🔐 Αποκάλυψη του λάθους

Για να σχηματίσουμε το πρώτο κλάσμα, πρέπει να ισχύει

\[g(b+h)-g(b)\ne0.\]

Οι υποθέσεις όμως δεν το εγγυώνται. Η \(g\) μπορεί να παίρνει την τιμή \(g(b)\) για αυθαίρετα μικρά μη μηδενικά \(h\). Στην πιο απλή περίπτωση, αν η \(g\) είναι σταθερή κοντά στο \(b\), τότε

\[g(b+h)-g(b)=0\]

για κάθε μικρό \(h\), και το τεχνητό κλάσμα γίνεται \(0/0\). Επομένως, η εισαγωγή και η ακύρωση του παράγοντα \(g(b+h)-g(b)\) δεν επιτρέπεται γενικά.

Προσοχή: αυτό δεν καταρρίπτει τον κανόνα της αλυσίδας. Καταρρίπτει μόνο τη συγκεκριμένη απόδειξη.

✅ Η σωστή απόδειξη — χωρίς επικίνδυνη διαίρεση

Από την παραγωγισιμότητα της \(f\) στο \(a\), υπάρχει συνάρτηση \(\varepsilon(u)\), με \(\varepsilon(u)\to0\) όταν \(u\to0\), τέτοια ώστε

\[ f(a+u)-f(a)=f'(a)u+u\varepsilon(u). \]

Θέτουμε \(u=g(b+h)-g(b)\). Επειδή η παραγωγισιμότητα της \(g\) συνεπάγεται τη συνέχειά της στο \(b\), έχουμε \(u\to0\). Επομένως

\[ \frac{f(g(b+h))-f(g(b))}{h} =f'(a)\frac{g(b+h)-g(b)}h +\frac{g(b+h)-g(b)}h\,\varepsilon\!\left(g(b+h)-g(b)\right). \]

Παίρνοντας όρια, ο πρώτος όρος τείνει στο \(f'(a)g'(b)\). Στον δεύτερο, το πρώτο γινόμενο τείνει στο \(g'(b)\) και ο παράγοντας \(\varepsilon\) τείνει στο \(0\). Άρα

\[ (f\circ g)'(b)=f'(a)g'(b)=f'(g(b))g'(b). \]

Η απόδειξη παραμένει έγκυρη ακόμη και όταν \(g(b+h)=g(b)\), επειδή πουθενά δεν διαιρέσαμε με τη διαφορά αυτή.

🧪 Το απλούστερο αντιπαράδειγμα στο ύποπτο βήμα

Πάρτε \(g(x)=a\), μια σταθερή συνάρτηση. Τότε \(g'(b)=0\) και η σύνθεση \(f\circ g\) είναι επίσης σταθερή, άρα ο κανόνας δίνει σωστά

\[(f\circ g)'(b)=f'(a)\cdot0=0.\]

Ωστόσο, η «σύντομη απόδειξη» απαιτεί το κλάσμα

\[\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac00,\]

το οποίο δεν ορίζεται. Έτσι βλέπουμε καθαρά τη διαφορά ανάμεσα σε ένα σωστό θεώρημα και σε μια ελαττωματική απόδειξή του.

🎯 Το μάθημα

Η εισαγωγή ενός παράγοντα στον αριθμητή και στον παρονομαστή φαίνεται αθώα, αλλά προϋποθέτει ότι ο παράγοντας δεν είναι μηδέν. Στην Ανάλυση, μια τέτοια λεπτομέρεια είναι συχνά ολόκληρη η ουσία της απόδειξης.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα