🎲 Ένα τριψήφιο παιχνίδι πιθανότητας με τα ψηφία

🎲 Ένα τριψήφιο παιχνίδι πιθανότητας

Επιλέγουμε τυχαία έναν τριψήφιο φυσικό αριθμό.

Ας τον συμβολίσουμε με

\[ \overline{abc}, \]

όπου \(a\) είναι το ψηφίο των εκατοντάδων, \(b\) το ψηφίο των δεκάδων και \(c\) το ψηφίο των μονάδων.

🤔 Το πρόβλημα

Ποια είναι η πιθανότητα το ψηφίο των μονάδων να είναι ίσο με:

➕ το άθροισμα των άλλων δύο ψηφίων;

✖️ το γινόμενο των άλλων δύο ψηφίων;

➖ τη διαφορά των άλλων δύο ψηφίων;

➗ το πηλίκο των άλλων δύο ψηφίων;

💡 Το ενδιαφέρον είναι ότι, παρόλο που οι τέσσερις ερωτήσεις μοιάζουν σχεδόν ίδιες, οι συνθήκες που επιβάλλουν στα ψηφία είναι αρκετά διαφορετικές.

⚠️ Μικρή διευκρίνιση: Για να μην υπάρχει ασάφεια, στη διαφορά θεωρούμε την απόλυτη διαφορά των δύο ψηφίων, ενώ στο πηλίκο θεωρούμε το ψηφίο των εκατοντάδων προς το ψηφίο των δεκάδων, όταν φυσικά αυτό ορίζεται και δίνει ακέραιο ψηφίο.

🧠 Μπορείτε να βρείτε και τις τέσσερις πιθανότητες πριν ανοίξετε τη λύση;

🔍 Εμφάνιση λύσης

Οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί από \(100\) έως \(999\), επομένως το πλήθος όλων των δυνατών επιλογών είναι

\[ 900. \]

➕ 1. Άθροισμα

Θέλουμε

\[ c=a+b. \]

Επειδή το \(c\) πρέπει να είναι ψηφίο, απαιτείται \(a+b\leq9\). Για \(a=1,2,\ldots,9\) προκύπτουν αντίστοιχα

\[ 9,8,7,\ldots,1 \]

δυνατές επιλογές. Άρα οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι

\[ 9+8+\cdots+1=45. \] \[ \boxed{P=\frac{45}{900}=\frac{1}{20}=5\%}. \]

✖️ 2. Γινόμενο

Τώρα θέλουμε

\[ c=ab. \]

Πρέπει επομένως \(ab\leq9\). Αν \(b=0\), έχουμε 9 δυνατές περιπτώσεις. Για \(b\neq0\), η καταμέτρηση των επιτρεπτών ζευγών δίνει άλλες 23.

Συνεπώς έχουμε συνολικά

\[ 9+23=32 \]

ευνοϊκές περιπτώσεις και επομένως

\[ \boxed{P=\frac{32}{900}=\frac{8}{225}\approx3{,}56\%}. \]

➖ 3. Διαφορά

Με τη διαφορά να θεωρείται κατά απόλυτη τιμή, ζητάμε

\[ c=|a-b|. \]

Για κάθε δυνατό ζεύγος \((a,b)\), η ποσότητα \(|a-b|\) είναι πάντοτε ένα ψηφίο από \(0\) έως \(9\).

Υπάρχουν

\[ 9\cdot10=90 \]

δυνατά ζεύγη \((a,b)\). Άρα

\[ \boxed{P=\frac{90}{900}=\frac{1}{10}=10\%}. \]

➗ 4. Πηλίκο

Τέλος ζητάμε

\[ c=\frac{a}{b}, \]

οπότε πρέπει \(b\neq0\) και το \(b\) να διαιρεί ακριβώς το \(a\).

Για \(a=1,2,\ldots,9\), τα πλήθη των θετικών διαιρετών είναι αντίστοιχα

\[ 1,\;2,\;2,\;3,\;2,\;4,\;2,\;4,\;3. \]

Το άθροισμά τους είναι

\[ 23, \]

και συνεπώς

\[ \boxed{P=\frac{23}{900}\approx2{,}56\%}. \]

📌 Συνολικά:

➕ Άθροισμα: \(\displaystyle \frac{1}{20}=5\%\)
✖️ Γινόμενο: \(\displaystyle \frac{8}{225}\approx3{,}56\%\)
➖ Απόλυτη διαφορά: \(\displaystyle \frac{1}{10}=10\%\)
➗ Πηλίκο: \(\displaystyle \frac{23}{900}\approx2{,}56\%\)

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →