🐎 Μαύρα, Άσπρα ή Παρδαλά; Ένα Αίνιγμα Λογικής με Άλογα

🐎 Μαύρα, Άσπρα ή Παρδαλά;

Ένα παράξενο νομικό αίνιγμα εμφανίζεται στο Memoirs of Martinus Scriblerus (1741), το σατιρικό έργο που συνδέεται κυρίως με τους Alexander Pope, Jonathan Swift και τον κύκλο του Scriblerus Club.

Ο Sir John Swale αφήνει με τη διαθήκη του στον Matthew Stradling

«όλα τα μαύρα και άσπρα άλογά μου».

Υπάρχει όμως ένα μικρό πρόβλημα. Ο Sir John έχει:

6 μαύρα  •  6 άσπρα  •  6 παρδαλά άλογα.

Και τώρα αρχίζει η διαφωνία.

Το πρώτο επιχείρημα:

Ένα παρδαλό άλογο είναι μαύρο και άσπρο. Άρα, αφού η διαθήκη αναφέρει «μαύρα και άσπρα άλογα», μήπως τα παρδαλά πρέπει να συμπεριληφθούν;

Το αντίθετο επιχείρημα:

Ένα παρδαλό άλογο δεν είναι άσπρο άλογο και δεν είναι μαύρο άλογο. Γιατί λοιπόν να περιλαμβάνεται στη φράση «μαύρα και άσπρα άλογα»;

⚖️ Το αίνιγμα

Πρέπει τελικά ο Matthew Stradling να πάρει και τα έξι παρδαλά άλογα;

Και τώρα... μια «μαθηματική απόδειξη» που ίσως βοηθήσει!

Το 1961 ο μαθηματικός Joel E. Cohen παρουσίασε σε ένα σατιρικό κείμενο μια περίφημη υποτιθέμενη απόδειξη ότι όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

Θέτουμε \(P(k)\) την πρόταση:

\[ P(k):\quad \text{«οποιαδήποτε }k\text{ άλογα έχουν το ίδιο χρώμα».} \]

Για \(k=1\) η πρόταση φαίνεται προφανής: ένα μόνο άλογο έχει φυσικά το ίδιο χρώμα... με τον εαυτό του.

Υποθέτουμε τώρα ότι η \(P(k)\) είναι αληθής και παίρνουμε \(k+1\) άλογα.

Αφαιρούμε ένα άλογο. Τα υπόλοιπα \(k\), σύμφωνα με την επαγωγική υπόθεση, έχουν όλα το ίδιο χρώμα.

Επαναφέρουμε το πρώτο, αφαιρούμε ένα άλλο και εφαρμόζουμε ξανά την ίδια υπόθεση. Και αυτά τα \(k\) άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

Φαίνεται λοιπόν ότι μπορούμε να συμπεράνουμε:

\[ P(k)\Longrightarrow P(k+1). \]

Αφού όμως γνωρίζουμε ότι \(P(1)\) είναι αληθής, η μαθηματική επαγωγή φαίνεται να οδηγεί στο εκπληκτικό συμπέρασμα:

🐎 Όλα τα άλογα στον κόσμο έχουν το ίδιο χρώμα!

Κάτι, φυσικά, έχει πάει στραβά.

🔍 Πού βρίσκεται το λάθος της «απόδειξης»;

Η παγίδα βρίσκεται στην πρώτη κιόλας επαγωγική μετάβαση:

\[ P(1)\longrightarrow P(2). \]

Πάρτε δύο άλογα \(A\) και \(B\).

Αν αφαιρέσουμε το \(A\), απομένει μόνο το \(B\), άρα το σύνολο \(\{B\}\) έχει ένα χρώμα.

Αν αφαιρέσουμε το \(B\), απομένει μόνο το \(A\), άρα και το σύνολο \(\{A\}\) έχει ένα χρώμα.

Όμως τα δύο σύνολα

\[ \{A\} \qquad\text{και}\qquad \{B\} \]

δεν έχουν κανένα κοινό άλογο.

Άρα δεν υπάρχει τίποτε που να μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι το \(A\) και το \(B\) έχουν το ίδιο χρώμα.

Για \(k\ge2\) τα δύο σύνολα των \(k\) αλόγων επικαλύπτονται και υπάρχει κοινό άλογο που «μεταφέρει» την πληροφορία για το χρώμα. Για \(k=1\) όμως αυτή η επικάλυψη εξαφανίζεται. Έτσι η αλυσίδα της επαγωγής σπάει ακριβώς στο πρώτο βήμα.

💡 Δύο παγίδες στην ίδια ιστορία

Στο πρώτο αίνιγμα η παγίδα βρίσκεται στη γλώσσα: τι ακριβώς σημαίνει «μαύρα και άσπρα»;

Στο δεύτερο βρίσκεται στη λογική: ένα σχεδόν αόρατο κενό στην επαγωγική απόδειξη οδηγεί σε ένα προφανώς παράλογο συμπέρασμα.

Πηγές: Futility Closet – Gray Area

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →