🎲 Ένα «πειραγμένο» ζάρι — Ποιο γεγονός είναι πιθανότερο;

Έχουμε ένα ζάρι αριθμημένο κανονικά από το \(1\) έως το \(6\). Εξωτερικά φαίνεται απολύτως συνηθισμένο, αλλά υπάρχει μια σημαντική διαφορά: δεν είναι δίκαιο.

Έχει κατασκευαστεί έτσι ώστε η πιθανότητα να εμφανιστεί κάθε αριθμός να είναι αντιστρόφως ανάλογη με την τιμή του.

Δηλαδή, αν \(k\in\{1,2,3,4,5,6\}\), τότε

\[ P(k)\propto\frac1k. \]

Θεωρούμε τώρα τα δύο γεγονότα

\[ A=\{1,6\} \qquad\text{και}\qquad B=\{2,3,4\}. \]

❓ Ποιο από τα δύο γεγονότα είναι πιθανότερο;

\(A\), \(B\) ή μήπως έχουν την ίδια πιθανότητα;

🔍 Εμφάνιση λύσης

Αφού η πιθανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη του αποτελέσματος, υπάρχει σταθερά \(c>0\) τέτοια ώστε

\[ P(k)=\frac{c}{k}. \]

Για το γεγονός \(A\):

\[ P(A) =c\left(1+\frac16\right) =\frac76c =\frac{14}{12}c. \]

Για το γεγονός \(B\):

\[ P(B) =c\left(\frac12+\frac13+\frac14\right) =\frac{13}{12}c. \]

Επομένως

\[ \boxed{P(A)>P(B)}. \]

Άρα το \(A=\{1,6\}\) είναι πιθανότερο, παρόλο που περιέχει μόνο δύο δυνατά αποτελέσματα, ενώ το \(B\) περιέχει τρία.

Το κλειδί είναι ότι τα έξι αποτελέσματα δεν είναι ισοπίθανα. Ο αριθμός \(1\) έχει τόσο μεγάλη πιθανότητα ώστε να ανατρέπει τη φαινομενική υπεροχή των τριών αποτελεσμάτων του \(B\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →