🎲 Είναι Δίκαιο το Ντρέιντελ; Τα Μαθηματικά Λένε Όχι

Το ντρέιντελ (dreidel) είναι ένα παραδοσιακό παιχνίδι της Χανουκά με μια τετράπλευρη σβούρα. Το 1976, όμως, ο μαθηματικός Robert Feinerman του CUNY ανακάλυψε κάτι απροσδόκητο: με τους συνηθισμένους κανόνες, το παιχνίδι δεν είναι δίκαιο.

Στην αρχή κάθε παίκτης βάζει μία μονάδα στο ποτ. Στη συνέχεια οι παίκτες περιστρέφουν διαδοχικά το ντρέιντελ. Οι τέσσερις ισοπίθανες πλευρές αντιστοιχούν σε τέσσερα αποτελέσματα:

Nun: δεν συμβαίνει τίποτε.
Gimel: ο παίκτης παίρνει ολόκληρο το ποτ.
Hey: παίρνει το μισό ποτ.
Shin: βάζει μία επιπλέον μονάδα στο ποτ.

Όταν εμφανιστεί Gimel, ο παίκτης παίρνει όλο το ποτ και όλοι συνεισφέρουν ξανά από μία μονάδα για να σχηματιστεί το επόμενο.

Η έκπληξη του Feinerman

Έστω \(X_n\) η πληρωμή του παίκτη στην \(n\)-οστή περιστροφή και \(p\) ο αριθμός των παικτών. Ο Feinerman απέδειξε ότι:

\[ \boxed{ E(X_n)= \frac{p}{4} + \frac{p-2}{8} \left(\frac34\right)^{n-1} } \]

Και εδώ κρύβεται η αδικία. Αν υπάρχουν περισσότεροι από δύο παίκτες, δηλαδή \(p>2\), τότε καθώς αυξάνεται το \(n\), ο όρος

\[ \frac{p-2}{8}\left(\frac34\right)^{n-1} \]

γίνεται συνεχώς μικρότερος. Άρα η αναμενόμενη πληρωμή μειώνεται όσο προχωρά η σειρά των περιστροφών.

Ο 1ος παίκτης έχει πλεονέκτημα έναντι του 2ου,
ο 2ος έναντι του 3ου, ο 3ος έναντι του 4ου κ.ο.κ.

Για δύο ακριβώς παίκτες, \(p=2\), ο δεύτερος όρος μηδενίζεται και η αναμενόμενη πληρωμή δεν εξαρτάται από τη θέση της περιστροφής. Για τρεις ή περισσότερους, όμως, εμφανίζεται το πλεονέκτημα της σειράς.

Από την πιθανότητα... στη Major League Dreidel

Η μαθηματική «αδικία» δεν εμπόδισε βέβαια το ντρέιντελ να αποκτήσει ακόμη και αγωνιστική εκδοχή. Το Major League Dreidel, που εμφανίστηκε στη Νέα Υόρκη το 2007, μετέτρεψε την περιστροφή της σβούρας σε διαγωνισμό δεξιοτεχνίας: νικητής είναι εκείνος που καταφέρνει να κρατήσει το ντρέιντελ να περιστρέφεται περισσότερο.

Η ειδική επιφάνεια των αγώνων απέκτησε μάλιστα το ευρηματικό όνομα Spinagogue, ενώ το σύνθημα ήταν:

“No Gelt, No Glory!”
Χωρίς gelt, καμία δόξα!

Πηγή: Robert Feinerman, “An Ancient Unfair Game”, American Mathematical Monthly, 83 (1976), 623–625

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →