🔺Πόσα κανονικά πολύγωνα έχουν ακέραια εσωτερική γωνία;

Ας κοιτάξουμε τα πρώτα κανονικά πολύγωνα.

Στο ισόπλευρο τρίγωνο κάθε εσωτερική γωνία είναι

\[ 60^\circ. \]

Στο τετράγωνο είναι

\[ 90^\circ, \]

ενώ στο κανονικό πεντάγωνο είναι

\[ 108^\circ. \]

Και οι τρεις είναι ακέραιοι αριθμοί μοιρών.

Αυτό γεννά ένα φυσικό ερώτημα:

🤔 Πόσα κανονικά πολύγωνα έχουν εσωτερική γωνία που είναι ακέραιος αριθμός μοιρών;

Και ποια είναι αυτά;

🧠 Προσπάθησε να τα βρεις χωρίς να ελέγχεις ένα προς ένα όλα τα πολύγωνα.

🔍 Εμφάνιση λύσης

1️⃣ Ο τύπος της εσωτερικής γωνίας

Σε ένα κανονικό \(n\)-γωνο, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι

\[ (n-2)\cdot180^\circ. \]

Επειδή όλες οι γωνίες είναι ίσες, καθεμία έχει μέτρο

\[ \alpha=\frac{180(n-2)}{n}. \]

Γράφουμε τον τύπο λίγο διαφορετικά:

\[ \alpha =180-\frac{360}{n}. \]

💡 Εδώ βρίσκεται το κλειδί.

Το \(180\) είναι ακέραιος. Επομένως η γωνία \(\alpha\) είναι ακέραιος αριθμός μοιρών αν και μόνο αν το \[ \frac{360}{n} \] είναι ακέραιος.

2️⃣ Άρα το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διαιρετότητας

Χρειαζόμαστε λοιπόν

\[ n\mid360. \]

Με άλλα λόγια, ο αριθμός των πλευρών \(n\) πρέπει να είναι διαιρέτης του 360.

Φυσικά, για να έχουμε πολύγωνο πρέπει επίσης

\[ n\ge3. \]

3️⃣ Πόσοι είναι οι διαιρέτες του 360;

Η παραγοντοποίηση του \(360\) είναι

\[ 360=2^3\cdot3^2\cdot5. \]

Άρα ο αριθμός των θετικών διαιρετών του είναι

\[ (3+1)(2+1)(1+1) =4\cdot3\cdot2 =24. \]

Από αυτούς όμως πρέπει να αφαιρέσουμε τους \(1\) και \(2\), αφού δεν υπάρχουν κανονικά μονόγωνα ή δίγωνα στην ευκλείδεια γεωμετρία.

🎯 Επομένως υπάρχουν \[ 24-2=\boxed{22} \] κανονικά πολύγωνα με ακέραιη εσωτερική γωνία.

4️⃣ Ποια είναι αυτά;

Οι επιτρεπτές τιμές του \(n\), μαζί με την αντίστοιχη εσωτερική γωνία, είναι:

Πλευρές \(n\)	Εσωτερική γωνία
3	60°
4	90°
5	108°
6	120°
8	135°
9	140°
10	144°
12	150°
15	156°
18	160°
20	162°
24	165°
30	168°
36	170°
40	171°
45	172°
60	174°
72	175°
90	176°
120	177°
180	178°
360	179°

✨ Μια όμορφη σύνδεση

Το γεωμετρικό ερώτημα

«Πότε η εσωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι ακέραιος αριθμός μοιρών;»

μετατρέπεται τελικά στην καθαρά αριθμητική ερώτηση:

\[ \boxed{\text{Ποιοι αριθμοί }n\ge3\text{ διαιρούν το }360;} \]

💡 Και γιατί εμφανίζεται το 360;

Επειδή η εξωτερική γωνία ενός κανονικού \(n\)-γώνου είναι \[ \frac{360^\circ}{n}, \] ενώ η εσωτερική και η εξωτερική γωνία έχουν άθροισμα \(180^\circ\). Έτσι, η ακεραιότητα της εσωτερικής γωνίας συνδέεται άμεσα με τους διαιρέτες του \(360\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →